Question

我想在python中快速相乘两个多项式。由于我的多项式是相当大的（> 100000）元素，因此我必须将它们相乘很多。在下面，您将找到我的方法，

from numpy.random import seed, randint
from numpy import polymul, pad 
from numpy.fft import fft, ifft
from timeit import default_timer as timer

length=100

def test_mul(arr_a,arr_b):  #inbuilt python multiplication

    c=polymul(arr_a,arr_b)

    return c    

def sb_mul(arr_a,arr_b):    #my schoolbook multiplication

    c=[0]*(len(arr_a) + len(arr_b) - 1 )
    for i in range( len(arr_a) ):
        for j in range( len(arr_b) ):
            k=i+j
            c[k]=c[k]+arr_a[i]*arr_b[j]
    return c    


def fft_test(arr_a,arr_b):  #fft based polynomial multuplication

    arr_a1=pad(arr_a,(0,length),'constant')
    arr_b1=pad(arr_b,(0,length),'constant')
    a_f=fft(arr_a1)
    b_f=fft(arr_b1)

    c_f=[0]*(2*length)

    for i in range( len(a_f) ):
        c_f[i]=a_f[i]*b_f[i]

    return c_f


if __name__ == '__main__':

    seed(int(timer()))
    random=1
    if(random==1):
        x=randint(1,1000,length)
        y=randint(1,1000,length)
    else:
        x=[1]*length
        y=[1]*length

    start=timer()
    res=test_mul(x,y)
    end=timer()
    print("time for built in pol_mul", end-start)

    start=timer()
    res1=sb_mul(x,y)
    end=timer()
    print("time for schoolbook mult", end-start)

    res2=fft_test(x,y)

    print(res2)

    #########check############
    if( len(res)!=len(res1) ):
        print("ERROR");

    for i in range( len(res) ):
        if( res[i]!=res1[i] ):
            print("ERROR at pos ",i,"res[i]:",res[i],"res1[i]:",res1[i])

现在，这是我的详细方法， 1.首先，我尝试了天真地实现带有复杂度O（n ^ 2）的Schoolbook。但是正如您可能期望的那样，结果却非常缓慢。

第二，我在Numpy库中认识了polymul。此功能比以前的功能快很多。但是我意识到这也是O（n ^ 2）的复杂性。您可以看到，如果增加长度k，则时间将增加k ^ 2倍。
我的第三种方法是使用内置FFT函数尝试基于FFT的乘法。我遵循了也描述了here的众所周知的方法，但是我无法使其正常工作。

现在我的问题是，

基于FFT的方法在哪里出错？你能告诉我如何解决吗？
我的观察到polymul函数的O（n ^ 2）复杂度正确吗？

请问您是否有任何疑问。预先感谢。

Answer 1

基于FFT的方法在哪里出错？您能告诉我如何解决吗？

主要问题是，在基于FFT的方法中，您应该在乘法之后进行逆变换，但是代码中缺少该步骤。缺少这一步骤，您的代码应如下所示：

def fft_test(arr_a,arr_b):  #fft based polynomial multiplication

    arr_a1=pad(arr_a,(0,length),'constant')
    arr_b1=pad(arr_b,(0,length),'constant')
    a_f=fft(arr_a1)
    b_f=fft(arr_b1)

    c_f=[0]*(2*length)

    for i in range( len(a_f) ):
        c_f[i]=a_f[i]*b_f[i]

    return ifft(c_f)

请注意，可能还有一些改进的机会：

可以通过将所需的FFT长度作为第二个参数（例如a_f = fft(arr_a, length)）传递来直接处理零填充
for循环中的系数乘法可以直接由numpy.multiply处理。
如果多项式系数是实值，则可以使用numpy.fft.rfft和numpy.fft.irfft（而不是numpy.fft.fft和numpy.fft.ifft）来提高性能。

因此，用于实值输入的实现可能类似于：

from numpy.fft import rfft, rifft
from numpy import multiply
def fftrealpolymul(arr_a,arr_b):  #fft based real-valued polynomial multiplication

    L = len(arr_a1) + len(arr_b2) - 1
    a_f=rfft(arr_a,L)
    b_f=rfft(arr_b,L)

    return irfft(multiply(a_f,b_f))

我是否发现polymul函数的O（n ²）复杂度正确吗？

这似乎也是我观察到的性能，并且与numpy安装（版本1.15.4中的可用代码）相匹配，并且在最新的1.16.1版本中该部分似乎没有任何更改）。

使用内置Numpy.fft在Python中进行FFT多项式乘法

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