Question

最近有人问我一个关于测试数独板有效性的采访问题。一个基本的答案涉及for循环。本质上：

for(int x = 0; x != 9; ++x)    
    for(int y = 0; y != 9; ++y)
        // ...

执行此嵌套的for循环以检查行。再次执行以检查列。再为子方块多做一个，但又一个更时髦，因为我们将数独板划分为多个子板，因此最终导致了两个以上的嵌套循环，也许是三个或四个。

后来我被问到这段代码的复杂性。坦白说，就我而言，O(3n)恰好访问了董事会的所有单元三次。对我而言，我们具有嵌套循环这一事实并不意味着此代码自动为O(n^2)或even O(n^highest-nesting-level-of-loops)。但是我怀疑那是面试官所期望的答案...

换一种说法，这两段代码的复杂性是什么：

for(int i = 0; i != n; ++i)
    // ...

和：

for(int i = 0; i != sqrt(n); ++i)
    for(int j = 0; j != sqrt(n); ++j)
        // ...

Answer 1

您的一般直觉是正确的。让我们澄清一下有关Big-O表示法的问题：

Big-O为您提供算法的最坏情况（时间）复杂度的上限，与n-输入大小有关。本质上，它是工作量相对于输入大小如何变化的度量。

当你说类似的话

对板子的所有单元格进行了3次精确访问，所以O（3n）。

您是说n（输入的大小）是面板中单元的数量，因此，访问所有单元三遍确实是O（3n）（这是O（n））操作。如果是这种情况，您将是正确的。
但是，通常在提及数独问题（或通常涉及网格的问题）时，将n视为每行/列（n x n板）中的单元格数。在这种情况下，运行时复杂度将为O（3n²）（实际上等于O（n²））。
将来，询问面试官n是什么是完全有效的。

关于标题中的问题（自动嵌套嵌套的O（n ^ 2）吗？）简短的回答是否。
考虑以下示例：

for(int i = 0 ; i < n ; i++) {
    for(int j = 0 ; j < n ; j * 2) {
       ... // some constant time operation
    }
}

外部循环进行 n次迭代，而内部循环进行 log2（n）次迭代-因此时间复杂度为 O（nlogn）。

在您的示例中，在第一个示例中，您有一个for循环进行n次迭代，因此复杂度至少为O（n）（操作执行的次数 n的顺序次）。
在第二个中，两个嵌套的for循环，每个循环进行sqrt（n）迭代，因此总的运行时复杂度也至少为O（n）。第二个函数并不是仅因为它包含嵌套循环就自动为O（n ^ 2）。进行的操作数量仍然是相同的顺序（n），因此这两个示例具有相同的复杂度-因为我们假设两个示例的n相同。
这是启航的最关键点。要在两种算法的性能之间进行比较，您必须使用相同的输入进行比较。在数独问题中，您可以用几种不同的方式定义n，并且即使工作量完全相同，您所做的方式也会直接影响问题的复杂度计算。

*注意-这与您的问题无关，但是将来避免在循环条件下使用!=。在第二个示例中，如果log（n）不是整数，则循环可能永远运行，具体取决于语言及其定义方式。因此，建议改用<。

Answer 2

这取决于您如何定义所谓的N。

如果电路板的大小是N×N，那么，复杂度是O（N ^ 2）。

但是，如果您说的话，网格总数为N（即，板号为sqrt（N）-by-sqrt（N）），那么复杂度为O（N），如果您是3O（N）介意常数。

嵌套的for循环是否自动为O（n ^ 2）？

2 个答案: