从模拟中找到条件和联合概率

Question

考虑状态空间 S = {1，2} 和转移矩阵的马尔可夫链

和初始分布α=（1/2，1/2）。

假设，用于仿真的源代码如下：

alpha <- c(1, 1) / 2
mat <- matrix(c(1 / 2, 0, 1 / 2, 1), nrow = 2, ncol = 2) 

chainSim <- function(alpha, mat, n) 
{
  out <- numeric(n)
  out[1] <- sample(1:2, 1, prob = alpha)
  for(i in 2:n)
    out[i] <- sample(1:2, 1, prob = mat[out[i - 1], ])
  out
}

假设以下是重复10次的5步马尔可夫链模拟的结果：

> sim
     [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10]
[1,]    2    1    1    2    2    2    1    1    1     2
[2,]    2    1    2    2    2    2    2    1    1     2
[3,]    2    1    2    2    2    2    2    1    2     2
[4,]    2    2    2    2    2    2    2    1    2     2
[5,]    2    2    2    2    2    2    2    2    2     2
[6,]    2    2    2    2    2    2    2    2    2     2

以下各项的值是什么？

1. P（X ₁ = 1，X ₃ = 1）

2. P（X ₅ = 2 | X ₀ = 1，X ₂ = 1）

3. E（X ₂ ）

我尝试了如下操作：

1. mean(sim[4, ] == 1 && sim[2, ]== 1)
2. ？
3. c(1,2) * mean(sim[2, ])

会是（2）？我对其余的都正确吗？

请解释您的回答。

Answer 1

您对1几乎是正确的：使用&&还是&有所不同，请参见

?`&&`

应该是

mean(sim[1 + 1, ] == 1 & sim[1 + 3, ] == 1)

然后2由

给出

mean(sim[1 + 5, sim[1 + 0, ] == 1 & sim[1 + 2, ] == 1] == 2)

如果条件事件{X ₀ = 1，X ₂ = 1}中没有出现，您可能会得到NaN模拟。

最后，第3点是

mean(sim[1 + 2, ])

因为期望值的自然估计值只是样本平均值。

Answer 2

1. 利用问题结构，状态2为吸收状态。 X ₁ = 1 和 X ₃ = 1 的唯一方法是，如果它以1开头并且在每个中间步骤，它保持访问状态1。因此，答案为（0.5） ⁴ = 0.0625 。

在模拟方面，而不是

mean(sim[4, ] == 1 && sim[2, ]== 1

应该是

mean(sim[4, ] == 1 & sim[2, ]== 1

&&仅检查第一个组件。

1. 对于第二部分，一种可能的方法是注意

P（X ₅ = 2 | X ₀ = 1，X ₂ = 1）= P（X ₅ = 2，X ₀ = 1，X ₂ = 1）/ P（X ₀ = 1，X < sub> 2 = 1）

然后您可以首先分别估计分子和分母，然后计算比率。

或者， P（X ₅ = 2 | X ₀ = 1，X ₂ = 1）= P（X ₅ = 2 | X ₂ = 1）= P（X ₃ = 2 | X ₀ = 1）

1. 对于第三个问题， E（X ₂ ）是单个数字，不是向量。可以通过mean(sim[3,])
进行估算