我需要证明以下内容：
lemma "m = min_list(x#xs) ⟹ m ∈ set (x#xs)"
用简单的英语来说，我需要证明“ min_list（x＃xs）”的返回值始终是（x＃xs）的成员
我尝试过：
apply(induct xs)
apply(auto)
我还尝试通过使用以下命令为min_list重用现有引理：
find_theorems min_list
此目标很长，以至于我不知道如何进行。
我不是在寻找一个完整的答案，而只是在暗示如何解决这一难题。此外，对于刚刚学习Isabelle的人来说，这是一个简单的难题还是一个非常困难的难题？
答案 0 :(得分：1)
扰流器：可以使用标准列表归纳法和auto来证明定理，即类似于by (induct xs ...) (auto simp: ...)的定理。我特意省略了证明中的部分，以便您自己填写。您将需要考虑是否需要将任何变量（即m或x指定为arbitrary，并且还需要了解简化程序可能需要的信息（在min_list中的List）。
关于您关于问题难度的问题，我相信，难度是经验的函数。最肯定的是，当我开始学习Isabelle时，发现与您的问题类似的证明很难形式化。经过一段时间Isabelle的编码（在回答此问题之前，我必须在Isabelle中累积了相当于4-5个月的全职编码），这种问题似乎不再存在给我带来重大挑战当然，还需要考虑其他因素，例如以前有数学或逻辑方面的培训，并且有过编码经验。
正在独自学习Isabelle的人的一般建议（该建议可能与专业教练通常推荐的方法不一致）
我认为，当证明相似的结果时，重要的是要了解Isabelle主要是“笔直式”证明形式化的工具。因此，在尝试将其正式化之前，手头有“纸笔”证明很重要。在攻击类似问题时，我建议采用以下一般方法：
Isar对证明进行形式化，并提供尽可能多的详细信息，并且不必过多关注证明的长度。另外，请尽量不要依赖工具进行自动推理（即auto，blast，meson，metis，fastforce），并使用类似{ {1}}和rule尽可能多。intro证明后，将用于自动推理的工具（例如Isar，auto）应用于Isar证明，以尽可能简化证明。 当然，最终，随着学习伊莎贝尔的进步，省略1和2变得越来越容易。
我可以提供更多详细信息，例如完整的简短证明和长blast版本的证明。
更新
根据您在评论中的要求，我提供了非正式证明。
引理。 Isar。
备注。为了完整起见，我还提供了m = min_list (x # xs) ⟹ m ∈ set (x # xs)的定义以及有关常量min_list的一些注释。 set的定义可以在理论min_list中找到：
List隐式定义了const fun min_list :: "'a::ord list ⇒ 'a" where
"min_list (x # xs) = (case xs of [] ⇒ x | _ ⇒ min x (min_list xs))"
，并构成set的{{1}}基础结构的一部分（请参阅文档“在Isabelle中定义（Co）数据类型和原始（Co）递归函数” / HOL”（如果是Isabelle）。特别是，它被称为数据类型的“设置函数”。 const datatype的许多基本属性可以通过检查/搜索找到，例如list。我相信定理set代表了const find_theorems list.set的主要属性（我可以随意在定理中重命名原理图变量）：
thm list.set 证明。通过列表set上的结构归纳来证明。在理论set [] = {}
set (?x # ?xs) = insert ?x (set ?xs)
的开头，归纳原理被称为未命名引理。为了完整起见，我在下面重申归纳原理：
xs
基本情况：假定List，并为所有"P [] ⟹ (⋀a list. P list ⟹ P (a # list)) ⟹ P list"显示xs = []。从m = min_list (x # xs) ⟹ m ∈ set (x # xs)的定义来看，x很简单。同样，可以直接从常量min_list的属性中显示min_list (x # []) = x。代替上面的谓词，仍然需要显示set (x # []) = {x}对所有set而言。这是根据基本集合论得出的。
归纳步骤：假设m = x ⟹ m ∈ {x}，对所有x，⋀x. m = min_list (x # xs) ⟹ m ∈ set (x # xs)和m = min_list (a # x # xs) ⟹ m ∈ set (a # x # xs)显示a。修复x，xs和a。假设x。然后剩下的就是显示xs。给定m = min_list (a # x # xs)，从m ∈ set (a # x # xs)的定义可以很容易地推断出m = min_list (a # x # xs)或min_list。明确考虑以下情况：
m = a。 m = min_list (x # xs)来自定义。然后，m = a替换。a ∈ set (a # x # xs)。然后，从假设m ∈ set (a # x # xs)得出m = min_list (x # xs)。因此，⋀x. m = min_list (x # xs) ⟹ m ∈ set (x # xs)遵循m ∈ set (x # xs)的属性。在所有可能的情况下，m ∈ set (a # x # xs)都需要证明。
这样，证明就得出结论了。
总结思想。尝试将此非正式证明转换为set证明。另外，请注意，证明可能不是理想的-稍后我可能会对证明进行编辑。