Question

让Mathematica 7或8进行积分

的最佳方法是什么

NIntegrate[Exp[-x]/Sin[Pi x], {x, 0, 50}]

每个整数都有极点 - 我们需要Cauchy原理值。我们的想法是从0到无穷大得到一个很好的近似值。

使用Integrate，可以选择PrincipleValue -> True。

使用NIntegrate我可以给它选项Exclusions -> (Sin[Pi x] == 0)，或者通过

手动给它选择极点

NIntegrate[Exp[-x]/Sin[Pi x], Evaluate[{x, 0, Sequence@@Range[50], 50}]]

原始命令和上述两个NIntegrate技巧会给出结果60980 +/- 10。但他们都吐出了错误。在没有Mathematica想要给出错误的情况下，获得快速可靠结果的最佳方法是什么？

Answer 1

西蒙，有理由相信你的积分是收敛的吗？

In[52]:= f[k_Integer, eps_Real] := 
 NIntegrate[Exp[-x]/Sin[Pi x], {x, k + eps, k + 1 - eps}]

In[53]:= Sum[f[k, 1.0*10^-4], {k, 0, 50}]

Out[53]= 2.72613

In[54]:= Sum[f[k, 1.0*10^-5], {k, 0, 50}]

Out[54]= 3.45906

In[55]:= Sum[f[k, 1.0*10^-6], {k, 0, 50}]

Out[55]= 4.19199

看起来问题是在x == 0。对于k的整数值，将积分k + eps分裂为k + 1-eps：

In[65]:= int = 
 Sum[(-1)^k Exp[-k ], {k, 0, Infinity}] Integrate[
   Exp[-x]/Sin[Pi x], {x, eps, 1 - eps}, Assumptions -> 0 < eps < 1/2]

Out[65]= (1/((1 + 
   E) (I + \[Pi])))E (2 E^(-1 + eps - I eps \[Pi])
     Hypergeometric2F1[1, (I + \[Pi])/(2 \[Pi]), 3/2 + I/(2 \[Pi]), 
     E^(-2 I eps \[Pi])] + 
   2 E^(I eps (I + \[Pi]))
     Hypergeometric2F1[1, (I + \[Pi])/(2 \[Pi]), 3/2 + I/(2 \[Pi]), 
     E^(2 I eps \[Pi])])

In[73]:= N[int /. eps -> 10^-6, 20]

Out[73]= 4.1919897038160855098 + 0.*10^-20 I

In[74]:= N[int /. eps -> 10^-4, 20]

Out[74]= 2.7261330651934049862 + 0.*10^-20 I

In[75]:= N[int /. eps -> 10^-5, 20]

Out[75]= 3.4590554287709991277 + 0.*10^-20 I

如你所见，存在对数奇点。

In[79]:= ser = 
 Assuming[0 < eps < 1/32, FullSimplify[Series[int, {eps, 0, 1}]]]

Out[79]= SeriesData[eps, 0, {(I*(-1 + E)*Pi - 
     2*(1 + E)*HarmonicNumber[-(-I + Pi)/(2*Pi)] + 
          Log[1/(4*eps^2*Pi^2)] - 2*E*Log[2*eps*Pi])/(2*(1 + E)*Pi), 
     (-1 + E)/((1 + E)*Pi)}, 0, 2, 1]

In[80]:= Normal[
  ser] /. {{eps -> 1.*^-6}, {eps -> 0.00001}, {eps -> 0.0001}}

Out[80]= {4.191989703816426 - 7.603403526913691*^-17*I, 
 3.459055428805136 - 
     7.603403526913691*^-17*I, 
 2.726133068607085 - 7.603403526913691*^-17*I}

修改上面代码的[79]给出了eps-> 0的系列扩展，如果这两个对数项合并，我们得到

In[7]:= ser = SeriesData[eps, 0, {(I*(-1 + E)*Pi - 2*(1 + E)*HarmonicNumber[-(-I + Pi)/(2*Pi)] + Log[1/(4*eps^2*Pi^2)] - 2*E*Log[2*eps*Pi])/(2*(1 + E)* Pi), (-1 + E)/((1 + E)*Pi)}, 0, 2, 1]; In[8]:= Collect[Normal[PowerExpand //@ (ser + O[eps])], Log[eps], FullSimplify] Out[8]= -(Log[eps]/\[Pi]) + ( I (-1 + E) \[Pi] - 2 (1 + E) (HarmonicNumber[-((-I + \[Pi])/(2 \[Pi]))] + Log[2 \[Pi]]))/(2 (1 + E) \[Pi])

显然-Log [eps] / Pi来自x == 0的极点。因此，如果有人减去这个，就像原则值方法一样，对于其他极点，你最终会得到一个有限的值：

In[9]:= % /. Log[eps] -> 0 Out[9]= (I (-1 + E) \[Pi] - 2 (1 + E) (HarmonicNumber[-((-I + \[Pi])/(2 \[Pi]))] + Log[2 \[Pi]]))/(2 (1 + E) \[Pi]) In[10]:= N[%, 20] Out[10]= -0.20562403655659928968 + 0.*10^-21 I

当然，这个结果很难以数字方式验证，但您可能对我的问题了解得更多。

编辑2

此编辑用于证明在[65]输入中计算原始正则化积分。我们正在计算

Sum[ Integrate[ Exp[-x]/Sin[Pi*x], {x, k+eps, k+1-eps}], {k, 0, Infinity}] == Sum[ Integrate[ Exp[-x-k]/Sin[Pi*(k+x)], {x, eps, 1-eps}], {k, 0, Infinity}] == Sum[ (-1)^k*Exp[-k]*Integrate[ Exp[-x]/Sin[Pi*x], {x, eps, 1-eps}], {k, 0, Infinity}] == Sum[ (-1)^k*Exp[-k], {k, 0, Infinity}] * Integrate[ Exp[-x]/Sin[Pi*x], {x, eps, 1-eps}]

在第三行Sin [Pi *（k + x）] ==（-1）^ k *使用整数k的Sin [Pi * x]。

Answer 2

西蒙，我没有花太多时间在积分上，但你应该试着看stationary phase approximation。你所拥有的是平滑函数（exp）和高振荡函数（正弦）。所涉及的工作现在正在将1/sin(x)压缩成exp(if(x))

形式

或者，您可以使用cosecant的系列扩展（在极点无效）：

In[1]:=Series[Csc[x], {x, 0, 5}]
(formatted) Out[1]=1/x + x/6 + 7/360 x^3 + 31/15120 x^5 +O[x]^6

请注意，对于所有m>-1，您有以下内容：

In[2]:=Integrate[x^m Exp[-x], {x, 0, Infinity}, Assumptions -> m > -1]
Out[2]=Gamma[1+m]

然而，将系列与cosecant系数（来自维基百科）相加，不包括1/x Exp[-x]个案，但不会收敛于[0,Infinity]。

c[m_] := (-1)^(m + 1) 2 (2^(2 m - 1) - 1) BernoulliB[2 m]/Factorial[2 m];
Sum[c[m] Gamma[1 + 2 m - 1], {m, 1, Infinity}]

也没有收敛...

所以，我不确定你是否可以计算出无穷大积分的近似值，但是如果你对某个大N的解决方案感到满意，我希望这些有用。

Answer 3

我必须同意Sasha，积分似乎不会收敛。但是，如果您排除x == 0并将整数分成几部分

Integrate[Exp[-x]/Sin[Pi x], {x, n + 1/2, n + 3/2}, PrincipalValue -> True]

其中n >= 0 && Element[n, Integers]，那么看起来你可能会得到一个交替的系列

I Sum[ (-1/E)^n, {n, 1, Infinity}] == - I / (1 + E )

现在，我只把它拿出来n == 4，但看起来很合理。但是，对于上面的积分Assumptions -> Element[n, Integers] && n >= 0 Mathematica给出

If[ 2 n >= 1, - I / E, Integrate[ ... ] ]

只是不符合个别情况。另外要注意，如果极点位于积分区域的边界，即您的极限是{x, n, n + 1}，则只能获得DirectedInfinity s。快速浏览一下情节意味着你有限制{x, n, n + 1}你只有一个严格正或负的被积函数，所以无限值可能是由于{x, n + 1/2, n + 3/2}给你的补偿不足。检查{x, n, n + 2}，但它只会吐出未评估的积分。

Mathematica与许多奇点不可分割

3 个答案: