在什么情况下Kruskal没有达到最低要求？

Question

由于Kruskal算法是贪婪方法，这意味着我们有时可能不会获得真正的最小路径。

但是有人能说明这种算法没有达到最小值吗？

我不是在寻找复杂性，只需要一个确实没有最佳解决方案的案例。

谢谢

Answer 1

我认为Kruskal的算法将始终找到最佳解决方案。它甚至适用于边成本为负的图形。 名为 Algorithm Design 的教科书中有一个关于Kruskal贪婪算法的最优性的证明： 考虑Kruskal算法添加的任何边e =（v，w），令S为v在添加e之前具有路径的所有节点的集合。显然v∈S，但是w̸∈S，因为加e不会产生循环。而且，还没有遇到从S到V-S的边，因为可以在不创建循环的情况下添加任何这样的边，因此可以通过Kruskal的算法来添加。因此，e是最便宜的边，其一端在S中，另一端在V-S中，因此它属于每个最小生成树。 因此，如果我们可以证明Kruskal算法的输出（V，T）实际上是G的生成树，那么我们就可以完成。显然（V，T）不包含循环，因为该算法经过明确设计，可避免产生循环。此外，如果未连接（V，T），则将存在节点S的非空子集（不等于V的全部），使得从S到V -S不存在边。但这与算法的行为相矛盾：我们知道，由于连接了G，因此S和V-S之间至少有一条边，并且该算法将添加遇到的第一个边。