Question

我正在尝试找到矩阵的解，在该矩阵中我知道行和列的总和以及一个单元格可以具有的最大值。我想找到在约束范围内的可能解决方案。我已经尝试过各种方法，例如构造一个包含所有单元格值的数组，并从每个单元格中依次选择，但是无论如何，我总是遇到一个问题，即我用完了一个单元格的值。我还尝试了一种递归算法，但是我只能设法获得第一个结果，否则无法获得任何解决方案。我想我必须使用回溯算法来做到这一点？不确定...

任何帮助或指点将不胜感激。

行总和A，B，C，列总和X，Y，Z以及每个？的最大值众所周知。所有值都是正整数。

    C1 | C2 | C3 
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R1 | ? | ?  | ? | A
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R2 | ? | ?  | ? | B
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R3 | ? | ?  | ? | C
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     X | Y | Z

Answer 1

如果您听说过linear programming（LP）及其“堂兄弟”（ILP，MILP），那可能是一个帮助您高效解决问题的好方法。
线性程序由一组变量（矩阵未知数），约束（最大值，行和列之和）和一个目标函数（此处没有）组成，以最小化或最大化。

我们将x [i] [j]称为您要查找的值。带有以下数据：

NxM矩阵的尺寸
max_val[i][j]变量x[i][j]的最大值
row_val[i]行i上的值之和
col_val[j]列j上的值之和

那么可以解决您的问题的线性程序是：

// declare variables
int x[N][M] // or eventually float x[N][M] 
// declare constaints
for all i in 1 .. N, j in 1 .. M, x[i][j] <= max_val[i][j]
for all i in 1 .. N, sum[j in 1 .. M](x[i][j]) == row_val[i]
for all j in 1 .. M, sum[i in 1 .. N](x[i][j]) == col_val[j]
// here the objective function is useless, but you still will need one
// for instance, let's minimize the sum of all variables (which is constant, but as I said, the objective function does not have to be useful)
minimize sum[i in 1 .. N](sum[j in 1 .. M](x[i][j]))
// you could also be more explicit about the uselessness of the objective function
// minimize 0

诸如gurobi或Cplex之类的解决方案（但是有更多的解决方案，例如参见here）可以非常快地解决这类问题，特别是如果您的解决方案不能解决的话需要为整数，但可以为浮点数（这使问题容易得多）。它还具有不仅执行速度更快，而且编码更快，更简单的优点。它们具有几种常用编程语言的API，以简化其使用。
例如，您可以合理地期望在不到一分钟的时间内解决此类问题，整数情况下有数十万个变量，实数情况下有数百万个。

编辑： 为了回应评论，这是OPL中的一段代码（Cplex和其他LP解算器使用的语言），可以解决您的问题。我们考虑一个3x3的案例。

// declare your problem input
int row_val[1..3] = [7, 11, 8];
int col_val[1..3] = [14, 6, 6];
int max_val[1..3][1..3] = [[10, 10, 10], [10, 10, 10], [10, 10, 10]];

// declare your decision variables
dvar int x[1..3][1..3];

// objective function
minimize 0;

// constraints
subject to {
    forall(i in 1..3, j in 1..3) x[i][j] <= max_val[i][j];
    forall(i in 1..3) sum(j in 1..3) x[i][j] == row_val[i];
    forall(j in 1..3) sum(i in 1..3) x[i][j] == col_val[j];
}

LP解算器的概念是，您仅描述要解决的问题，然后解算器将为您解决问题。必须根据一组特定的规则来描述问题。在当前情况下（整数线性编程或ILP），变量必须全部为整数，并且对于决策变量，约束和目标函数必须为线性等式（或不等式）。
然后求解器将充当黑匣子。它将分析问题，并运行可以解决问题的算法，并进行大量优化，然后输出解决方案。

Answer 2

正如您在评论中所写的那样，您想要一个自己的解决方案，这是一些准则：

使用Backtrack algorithm查找解决方案。您的值空间由3 * 3 = 9个独立值组成，每个值都在1和maxval[i][j]之间。您的约束条件将是行和列的总和（所有条件都必须匹配）

使用所有1来初始化您的空间，然后递增它们，直到它们到达maxval。仅在覆盖该条件的每个值之后评估条件（特别是，在3个值之后，您可以评估第一行，在6行第二行之后，在7行第一列之后，在8行第二列之后，在9行之后第三列，然后第三栏）

如果在所有条件都通过的情况下达到第9位，那么您将找到解决方案。否则，请尝试从1到maxval的值，如果都不匹配，请后退。如果第一个值被迭代，则没有解决方案。

仅此而已。

更多高级回溯：

您的移动值只是左上角的2 * 2 = 4个值。计算第三列，条件是该列必须在1和maxval之间。定义[1][1]元素后，您需要使用列总和来计算[2][2]索引，并通过行总和来验证其值（反之亦然）。相同的处理规则适用于上述情况：遍历所有可能的值，如果没有匹配，则退后一步，仅在可以应用规则时检查规则。

这是一种更快的方法，因为您有5个绑定变量（底部和右侧行），并且只有4个未绑定。这些是您特定规则的优化。但是，实现起来有点复杂。

PS：使用1是因为您有正整数。如果您使用非负整数，则需要以0开头。

查找具有已知行/列和和最大像元值的矩阵的可能解

2 个答案: