Question

我试图找到一个算法（不是matlab命令）来枚举所有可能的NxM矩阵，其约束条件是每个单元格中只有正整数（或0），每个行和列的固定总和（这些是算法的参数）。

例如：枚举所有2x3矩阵，其中行总计为2,1，列总计为0,1,2：

| 0 0 2 | = 2
| 0 1 0 | = 1
  0 1 2

| 0 1 1 | = 2
| 0 0 1 | = 1
  0 1 2

这是一个相当简单的例子，但随着N和M的增加以及总和，可能会有很多可能性。

编辑1

我可能有一个有效的安排来启动算法：

matrix = new Matrix(N, M) // NxM matrix filled with 0s
FOR i FROM 0 TO matrix.rows().count()
  FOR j FROM 0 TO matrix.columns().count()
    a = target_row_sum[i] - matrix.rows[i].sum()
    b = target_column_sum[j] - matrix.columns[j].sum()
    matrix[i, j] = min(a, b)
  END FOR
END FOR

target_row_sum [i]是第i行的预期总和。

在上面的例子中，它给出了第二种安排。

编辑2：（基于j_random_hacker's last statement）

令M为验证给定条件的任何矩阵（行和列和为固定，正或空单元格值）。令（a，b，c，d）为M中的4个单元格值，其中（a，b）和（c，d）在同一行上，并且（a，c）和（b，d）在同一行上柱。设Xa是包含a的单元格的行号，而Ya是其列号。

示例：

| 1 a b |
| 1 2 3 |
| 1 c d |
-> Xa = 0, Ya = 1
-> Xb = 0, Yb = 2
-> Xc = 2, Yc = 1
-> Xd = 2, Yd = 2

这是一种算法，可以获得验证初始条件并仅使a，b，c和d变化的所有组合：

// A matrix array containing a single element, M
// It will be filled with all possible combinations
matrices = [M]

I = min(a, d)
J = min(b, c)
FOR i FROM 1 TO I
    tmp_matrix = M
    tmp_matrix[Xa, Ya] = a - i
    tmp_matrix[Xb, Yb] = b + i
    tmp_matrix[Xc, Yc] = c - i
    tmp_matrix[Xd, Yd] = d + i
    matrices.add(tmp_matrix)
END FOR
FOR j FROM 1 TO J
    tmp_matrix = M
    tmp_matrix[Xa, Ya] = a + j
    tmp_matrix[Xb, Yb] = b - j
    tmp_matrix[Xc, Yc] = c + j
    tmp_matrix[Xd, Yd] = d - j
    matrices.add(tmp_matrix)
END FOR

然后应该可以找到矩阵值的每种可能组合：

将算法应用于每个可能的4个单元组的第一个矩阵;
对于除了父执行中已经使用的任何组之外的每个可能的4个单元组，递归地应用上一次迭代获得的每个子矩阵的算法;

递归深度应为(N*(N-1)/2)*(M*(M-1)/2)，每次执行都会生成((N*(N-1)/2)*(M*(M-1)/2) - depth)*(I+J+1)个子矩阵。但是这会产生很多重复的矩阵，所以这可能会被优化。

Answer 1

你需要这个来计算Fisher's exact test吗？因为这需要你正在做的事情，并且基于该页面，似乎通常会有大量的解决方案，所以如果你想要每个解决方案，你可能不会比强力递归枚举更好。 OTOH似乎蒙特卡罗近似值被某些软件成功使用而不是完整的枚举。

我问了similar question，这可能会有所帮助。虽然这个问题涉及保留每行和每列中字母的频率而不是总和，但一些结果可以翻译出来。例如。如果您发现任何子矩阵（一对不一定相邻的行和一对不一定相邻的列）带有数字

xy
yx

然后你可以重新安排这些

yx
xy

不更改任何行或列总和。但是：

mhum's answer证明通常存在任何此类2x2交换序列无法达到的有效矩阵。这可以通过获取他的3x3矩阵并映射A -> 1，B -> 2，C -> 4并注意到，因为没有元素在行或列中出现多次，可以看到原始频率保留矩阵相当于新矩阵中的求和。 然而... 的
someone's answer链接到一个数学证明，它实际上适用于条目为0或1的矩阵。

更一般地说，如果你有任何子矩阵

ab
cd

其中（不一定是唯一的）最小值是d，那么你可以用任何d + 1矩阵替换它

ef
gh

其中h = d-i，g = c + i，f = b + i且e = a-i，对于任何整数0 <= i <= d。

Answer 2

对于NXM矩阵，您有NXM未知数和N + M方程。将随机数放在左上角（N-1）X（M-1）子矩阵中，除了（N-1，M-1）个元素。现在，您可以轻松找到剩余N + M个元素的封闭形式。

更多细节：总共有T = N * M个元素

有R =（N-1）+（M-1）-1个随机填充的元素。

剩余未知数：T-S = N * M - （N-1）*（M-1）+1 = N + M

枚举具有固定行和列总和的矩阵组合

2 个答案: