树中边缘矛盾的证明

Question

我的教科书有一个问题，如下所示；假设我有一个最短路径矩阵S，看起来像下面这样：

还有一棵树T，该树由根据最短路径矩阵S构造的最短路径组成（就像最小生成树一样）。

该树具有以下属性； n-1条边，所有节点相互连接。

接下来的任务是要矛盾地证明，如果条目S_{ij}具有最小值，则该条目必须是树T中的一条边。我不太了解要证明什么。我的看法是，如果我们假设T不包含S中最小的元素，那么最后会有矛盾，因为会有一条比选择最小元素的一种。在我看来，这似乎不是一个证明，即使是，我也看不出如何概括该证明。

Answer 1

由于T是一棵树，所以每对节点之间只有一条路径。如果节点i和j没有通过边缘连接，则连接它们的路径必须至少再有一个节点，将其称为k。比S_{ij}（i和j之间的路径长度成立）

S_{ij} = S_{ik} + S_{kj} >= S_{ij} + S_{ij} = 2 * S_{ij}

这是一个矛盾。