Question

我试图理解时间序列的频谱密度与其方差之间的关系。据我了解，光谱密度的积分应等于方差。至少根据大多数讲义，例如these。

但是，我正在努力重复这一发现。可以说我生成了一个自回归系数为0.9的简单AR（1）级数。

    T = 1000;
rho = 0.9;
dat = zeros(T,1);
for ii = 2:T
    dat(ii) = rho*dat(ii-1)+randn;
end

然后我继续计算频谱密度（autocov与信号工具箱中的xcov相同，而我没有），它是动态序列的协方差，方差在向量的中间）

lag = 20;
autocovs = autocov(dat,lag);
lags = -lag:1:lag;
wb = 0:pi/64:pi;
rT = sqrt(length(dat));
weight = 1-abs(lags)/rT;
weight(abs(lags)>rT) = 0; %bartlett weight
for j = 1:length(wb)
    sdb(j) = real(sum(autocovs'.*weight.*exp(-i*wb(j).*lags)))/(2*pi);
end
sdb = sdb;

sdb是功率密度函数，并且肯定是AR（1）的正确形状，并朝低频加权： enter image description here。但是，功率谱的总和为54.5，而模拟的AR（1）系列的方差约为5。

我想念什么？我将频谱密度理解为系列的方差如何分布在整个频谱中。我不确定我是否误解了建议或编码错误。任何好的参考文献将不胜感激。

编辑：我意识到很明显，对“ sdb”系列求和并不是整数。为了在{-pi，pi}之间进行积分，我应该求和sdb *（2 * pi / 130）或等效地sdb *（pi / 65），因为我只查看{+ pi}段，而sdb对于负值。但是，我似乎仍然得到比方差更大的数字（甚至多次重复模拟）...我是否仍缺少某些东西？上面的sdb行变为

sdb(j) = real(sum(autocovs'.*weight.*exp(-i*wb(j).*lags)))/(65);

Matlab：从频谱密度到方差

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