Question

假定此代码段的复杂度为O(n)。但是，我不明白为什么。

sum = 0;
for (k = 1; k <= n; k *= 2)  // For some arbitrary n
  for (j = 1; j <= k; j++)
    sum++;

现在，我了解到外循环本身就是O(log n)，所以为什么加上内循环才能使这个O(n)。

Answer 1

让我们暂时假设 n 是2的幂。

内部循环的最终迭代将运行 n 次。之前的迭代将运行 n / 2次，倒数第二次迭代 n / 4次，依此类推，直到第一次迭代将运行一次。这形成了一个序列，总和为2 n -1次迭代。这是O（ n ）。

（例如，如果 n = 16，则内部循环总共运行1 + 2 + 2 + 4 + 8 + 16 + = 31。）

Answer 2

让m = floor(lg(n))。然后将2^m = C*n与1 <= C < 2一起使用。内循环中的步骤数k类似于：

1, 2, 4, 8, ..., 2^m = 2^0, 2^1, ..., 2^m

因此，操作总数为

2^0 + 2^1 + ... + 2^m = 2^{m+1} - 1      ; think binary
                      = 2*2^m - 1
                      = 2*C*n - 1        ; replace
                      = O(n)

为什么此代码段为O（n）？

2 个答案: