教堂数字

Question

“多边形”模块中有4个与教堂数字有关的练习：

Definition cnat := forall X : Type, (X -> X) -> X -> X.

据我所知，cnat是一个接受函数f（x）的函数，它是参数x并返回该参数的值：f（x）。

然后有4个示例以教会符号表示0、1、2和3。

但是如何解决呢？我知道我们必须再次应用该功能。 cnat返回的值将作为参数。但是如何编码呢？使用递归吗？

Definition succ (n : cnat) : cnat
  (* REPLACE THIS LINE WITH ":= _your_definition_ ." *). Admitted.

更新

我尝试过：

Definition succ (n : cnat) : cnat :=
match n with
| zero => one
| X f x => X f f(x) <- ?

Answer 1

  

据我所知，cnat是一个接受函数f（x）的函数，它是参数x并返回该参数的值：f（x）。

请注意，print(confusion_matrix(y_test, my_result)) 本身不是函数。而是cnat是所有此类函数的类型。另请注意，cnat的元素也将cnat作为参数。请牢记X的定义。

cnat

此后，我们的目标只是Definition succ (n: cnat): cnat. Proof. unfold cnat in *. (* This changes `cnat` with its definition everywhere *) intros X f x. ，并且我们以X，n : forall X : Type, (X -> X) -> X -> X，X和f为前提。

如果我们将x应用于n，X和f（作为x），我们将得到n X f x的元素，但这并不是我们想要的，因为最终结果将再次为X。相反，我们需要在某个地方多加n的时间。你看到哪里了吗？有两种可能性。

Answer 2

请记住，教堂数字是两个参数的函数（如果还计算类型，则为三个）。参数是函数f和起始值x0。教堂数字多次使用f到x0。 Four f x0对应于f (f (f (f x0)))，Zero f x0将忽略f而只是x0。

对于n的后继者，请记住n会为您应用f次任何功能n，因此，如果您的任务是创建一个函数，则会应用一些{ {1}} f次x0上，只需将您的n+1和n分配给教堂数字f ，然后再将x0应用于f返回的结果。

您将不需要任何n，因为函数不是可以进行案例分析的归纳数据类型。

Answer 3

您可以通过以下方式为Definition编写succ：

Definition succ (n : cnat) : cnat :=
    fun (X : Type) (f : X -> X) (x : X) => f (n X f x).