Question

我正在尝试通过给出类似这样的类型来研究Haskell中的教会数字，并认为自然数n基本上是将以下类型的函数应用于值的表达式t次输入n。

type Nat = forall t. (t -> t) -> t -> t

有了这个想法，我可以通过以下方式定义zero，successor，plus，mult：

zero :: Nat
zero = \f t -> t

succ :: Nat -> Nat
succ n = \f -> f . (n f)

plus :: Nat -> Nat -> Nat
plus m n = \f -> (m f) . (n f)

mult :: Nat -> Nat -> Nat
mult m n = \f -> m (n f) -- Equal to \f -> (m . n) f

-- Pointfree version
mult' :: Nat -> Nat -> Nat
mult' = (.)

当我尝试定义取幂时，我想尝试应用允许我定义乘法的相同推理，即将mult m n次应用于1 < /强>

这导致以下代码

exp' :: Nat -> Nat -> Nat exp' m n = n (mult m) (succ zero)

但是这样做会检查来自GHC的以下错误：

Couldn't match type ‘t’ with ‘t1’ ‘t’ is a rigid type variable bound by the type signature for: exp' :: forall t. Nat -> Nat -> (t -> t) -> t -> t at church.lhs:44:3 ‘t1’ is a rigid type variable bound by a type expected by the context: forall t1. (t1 -> t1) -> t1 -> t1 at church.lhs:44:17 Expected type: ((t -> t) -> t -> t) -> (t -> t) -> t -> t Actual type: Nat -> Nat

错误似乎表明类型检查器没有正确地实例化n的类型，理想情况下，类型t应该用另一个（t -> t）实例化以使表达式通过。

令我困惑的是以下代码类型检查：

exp :: Nat -> Nat -> Nat exp m n = n ((.) m) (succ zero) -- replace mult by (.)

有人会介意解释这里的问题吗？为什么exp'的第一个定义不是类型检查而是第二个exp类型检查？

谢谢！

Answer 1

它不起作用的原因是它涉及几个不可预测的实例化，这在Haskell中通常是不允许的。如果你打开*Error: s = separate(predicate.is_positive,[1, -3, -2, 4, 0, -1, 8]) raised exception TypeError: 'int' object is not iterable，你可以编译它：

-XImpredicativeTypes

第二个版本类型检查因为{-# LANGUAGE ImpredicativeTypes #-} ... exp' :: Nat -> Nat -> Nat exp' m n = n (mult m) (succ zero)具有更高的排名类型，即使它在定义上等于mult'，因此类型检查的进展也不同。由于(.)的类型更简单（排名1），因此类型检查会更频繁地成功。

GHC文档警告(.)不起作用，所以我要小心不要使用它。绕过它的典型方法是简单地使用ImpredicativeTypes：

newtype

要查看实际操作中的impredicative实例，可以使用类型化的洞：

newtype Nat' = N { instN :: Nat } 

exp'' :: Nat -> Nat -> Nat
exp'' m n = instN $ n (\(N q) -> N $ mult m q) (N $ succC zero)

这将报告exp' :: Nat -> Nat -> Nat exp' m n = _ (mult m) (succC zero)类型，与forall a . (Nat -> Nat) -> Nat -> (a -> a) -> a -> a相同。由于您将(Nat -> Nat) -> Nat -> Nat放在那里，因此必须将此类型与n统一，这涉及使用多边形forall a . (a -> a) -> a -> a实例化类型变量a。

RankNTypes和教会数字

1 个答案: