Question

我正在通过SICP工作，problem 2.6让我陷入了困境。在处理教会数字时，将零和1编码为满足某些公理的任意函数的概念似乎是有意义的。另外，使用零的定义导出单个数字的直接公式，并且add-1函数是有意义的。我不明白如何形成一个加号运算符。

到目前为止，我有这个。

(define zero (lambda (f) (lambda (x) x)))
(define (add-1 n)
  (lambda (f) (lambda (x) (f ((n f) x)))))

(define one (lambda (f) (lambda (x) (f x))))
(define two (lambda (f) (lambda (x) (f (f x)))))

通过lambda calculus的维基百科条目，我发现加的定义是PLUS：=λmnfx.mf（n f x）。使用该定义，我能够制定以下程序。

(define (plus n m)
  (lambda (f) (lambda (x) ((m f) ((n f) x)))))

我不明白的是，如何仅使用先前派生的程序给出的信息直接导出该过程。任何人都可以用某种严格的证明形式回答这个问题吗？直觉上，我想我明白发生了什么，但正如Richard Feynman曾经说过的那样，“如果我不能建造它，我就无法理解......”

Answer 1

实际上非常简单。这可能会被视为火焰，但是parens使得它更难以看到 - 更好的方式来看看发生了什么是想象你是一个讨厌的语言，或者只是使用Scheme具有多参数函数和拥抱那......这是一个解释，在方便的地方使用lambdas和多个参数：

每个数字N都编码为

(lambda (f x) ...apply (f (f (f ... (f x)))) N times...)

这意味着N的编码实际上是
```
(lambda (f x) (f^N x))
```
其中f^N是功能取幂。
更简单的说法（假设是currying）：数字N编码为
```
(lambda (f) f^N)
```
所以N实际上是“提升到N的力量”功能
现在接受你的表达（在这里查看lambda）：
```
((m f) ((n f) x))
```
因为n是一个数字的编码，所以它是取幂，所以这实际上是：
```
((m f) (f^n x))
```
和m相同：
```
(f^m (f^n x))
```
其余部分应该是显而易见的...... m f个n个f申请已应用于x申请plus。
最后，留下一些的乐趣 - 这是定义(define plus (lambda (m) (lambda (n) ((m add1) n))))的另一种方式：
```
{{1}}
```
（好吧，不是太有趣，因为这个可能更明显。）

Answer 2

^{（确保您理解higher-order functions）。}在Alonzo Church＆＃39; s untyped lambda calculus中，功能是唯一的原始数据类型。没有数字，布尔，列表或其他任何东西，只有函数。函数只能有1个参数，但函数可以接受和/或返回函数 - 不是这些函数的值，而是函数本身。因此，要表示数字，布尔值，列表和其他类型的数据，您必须为匿名函数提供一种聪明的方式来代表它们。 Church numerals是表示natural numbers的方式。无类型lambda演算中的三个最原始的构造是：

λx.x，identity function，接受某些功能并立即将其返回。
λx.x x，自我申请。
λf.λx.f x，函数应用程序，接受函数和参数，并将函数应用于参数。

如何将0,1,2编码为除功能之外的其他内容？我们不知何故需要将数量的概念构建到系统中。我们只有函数，每个函数只能应用于1个参数。我们在哪里可以看到类似数量的东西？嘿，我们可以多次将函数应用于参数！在函数的3次重复调用中，显然存在数量感：f (f (f x))。所以让我们用lambda演算编码：

0 = λf.λx.x
1 = λf.λx.f x
2 = λf.λx.f (f x)
3 = λf.λx.f (f (f x))

等等。但你怎么从0到1，或从1到2呢？你怎么写一个函数，给定一个数字，会返回一个加1的数字？我们看到教会数字中的模式，该术语始终以λf.λx.开头，并且在您有限地重复应用 f 之后，我们需要以某种方式进入{{1}的主体并将其包装到另一个λf.λx.中。如何在不减少的情况下改变抽象体？好吧，你可以应用一个函数，将函数包装在一个函数中，然后将新函数包装到旧的lambda抽象中。但是你不想要改变参数，因此你将抽象应用于同名的值：f，但是((λf.λx.f x) f) x → f x，这不是我们需要的。

((λf.λx.f x) a) b) → a b为add1的原因：您将λn.λf.λx.f ((n f) x)应用于n然后f将表达式减少到身体，然后将x应用于该主体，然后使用f再次对其进行抽象。练习也看到它是真的，快速了解β-reduction并减少λf.λx.将2递增2。

现在理解将主体包装到另一个函数调用背后的直觉，我们如何实现添加2个数字？我们需要一个函数，给定(λn.λf.λx.f ((n f) x)) (λf.λx.f (f x))（2）和λf.λx.f (f x)（3），将返回λf.λx.f (f (f x))（5）。请看2.如果您可以将λf.λx.f (f (f (f (f x))))替换为x，身体为3，即f (f (f x))怎么办？要获得3的身体，这很明显，只需将其应用于f然后x。现在将2应用于f，然后将其应用于3的正文，而不是x。然后再次将其包裹在λf.λx.中：λa.λb.λf.λx.a f (b f x)。

结论：要将2个数字a和b一起添加，两者都表示为教会数字，您希望替换 { x a的{{1}}正文{1}}，b + f (f x) = f (f (f x))。为实现此目的，请将f (f (f (f (f x))))应用于a，然后应用f。

Answer 3

Eli的答案在技术上是正确的，但由于此问题被问及#apply程序尚未引入，我不认为作者希望学生掌握相关知识那些或像currying这样的概念能够回答这个问题。

他们通过建议应用替换方法，然后从那里注意到加法的效果是一个数字组合到另一个上，它们几乎引导了答案。构图是在练习1.42中引入的概念;以及了解添加剂程序如何在该系统中起作用所需的全部内容。

; The effect of procedure #add-1 on `one`, and `two` was the composition of `f` 
; onto `one` and `f` onto `two`.
;
; one   : (λ (f) (λ (x) (f x)))
; two   : (λ (f) (λ (x) (f (f x))))
; three : (λ (f) (λ (x) (f (f (f x)))))
;
; Thus one may surmise from this that an additive procedure in this system would
; work by composing one number onto the other.
;
; From exercise 1.42 you should already have a procedure called #compose.
;
; With a little trial and error (or just plain be able to see it) you get the
; following solution.

(define (adder n m)
  (λ (f)
    (let ((nf (n f))
          (mf (m f)))
      (compose nf mf))))

算术与教会数字

3 个答案: