具有双向边缘的图上的Ford-Fulkerson算法

Question

我在理解Ford-Fulkerson算法以查找最大流量方面遇到一些麻烦，希望能有所帮助。

如果我们用源A和接收器F查看下面的图形，其中边缘容量在每个边缘上列出。

您会注意到，节点B和C具有双向边缘，B-C的容量为8，C-B的容量为3。

现在，假设找到的第一个路径是瓶颈容量为8的A-B-C-F。因此，我们在创建此图的路径上推8个流：

现在让我们说下一个路径是A-C-B-D-F。

我的问题是，我们现在能够推动C-B流动多少？是使用8个已推入的流量加上11的另一边的容量，得出11个，还是3个或可能是8个？

谢谢您的时间。

Answer 1

我认为您错误地构造了第二个残差图。这是我从第一张图准备的版本。

每当将流传递到扩充路径时，都需要随之调整容量。因此，当您沿着路径A-B-C-F传递值为8的流时，需要在将下一个流传递到图形之前调整关联边的容量。

因此，值8来自边缘B-C或C-F的瓶颈容量。由于您在这两个边缘上通过了最大流量，因此不能超过8个，因此您已最大限度地利用了这些边缘的容量。这可以概括为这样的想法：每当您使用某些边缘传递一些流量时，都需要绘制后向边缘，并用流量值加上后向边缘的容量并从前向边缘减去流量值。

您可以从第二张图表的我的版本中看到这一点。由于B-C不再具有承载更多流量的能力（8-8 = 0），因此我省略了边缘，并将容量添加到反向边缘（即C-B，其中容量增加到3 + 8 = 11）。 C-F也发生了同样的事情。

现在对于A-B，由于我们已经通过了8以及容量为10的路径，所以我们仍然还有2个容量来传递更多的流量。因此，我们从A-B中减去该值并得到（10-8 = 2）。我们还添加了反向边B-A，该边正添加流量值（即0 + 8 = 8）创建。

现在，由于我们正确构建了残差图，因此剩下的唯一可以承载来自A-F的流量的增广路径就是流量值为2（瓶颈容量为2）的A-B-D-F。

因此，最大流量值（总流量值）为8 + 2 = 10

希望有帮助！