对子数组求和将如何影响嵌套for循环中的时间复杂度？

Question

试图计算一些简单代码的时间复杂度，但我不知道在求和子数组时如何计算时间复杂度。代码如下：

for i=1 to n {
   for j = i+1 to n {
       s = sum(A[i...j])
       B[i,j]=s
}}

所以我知道嵌套的for循环不可避免地给我们一个O（n ^ 2），我相信求和子数组的函数也是O（n ^ 2）。但是，我认为整个算法的时间复杂度为O（n ^ 3）。如何获得此信息？谢谢！

Answer 1

我喜欢将for循环视为求和。因此，步骤数（写为函数T(n)）为：

T(n) = \sum_{i=1}^n numStepsInInnerForLoop

在这里，我使用的是用伪MathJax编写的东西，并编写了外部for循环，作为内部for循环中步数从i=1到n的总和（从i+1到n中的一个）。您可以类似地认为这是对内部for循环中从i=1到n的步数求和。替换为numStepsInInnerForLoop会导致：

T(n) = \sum_{i=1}^n [\sum_{j=i+1}^n numStepsOfSumFunction]

此函数现在表示将两个for循环充实为总和的步骤数。假设s = sum(A[i...j])迈出了j-i+1步而B[i,j]=s迈出了一步，我们可以将numStepsOfSumFunction替换为这些更有用的参数，等式现在变为：

T(n) = \sum_{i=1}^n [\sum_{j=i+1}^n (j-i+1 + 1)]

求解这些求和时（使用在this summation tutorial page上看到的那种公式），您将获得T(n)的三次函数，该函数对应于O(n^3)。

Answer 2

您的推理使我相信您正在n大小的数组上运行此算法。如果是这样，那么每次在内部for循环中调用sum方法时，都会在特定值范围（索引i到j）上调用此方法。对于此for循环的每个迭代，此sum方法将迭代1，2，3，...，然后随着j从（i + 1）增加到n，最终在最后一次迭代中迭代n个元素。请注意，这是当i = 1时。随着i的增加，它不必再从1，2，3，...变为n，因为从技术上讲它将上升到n-i个元素。不过，大O是最坏的情况，因此我们必须使用这种情况。

1 + 2 + 3 + ... + n给我们n ^ 2。 sum方法的运行时间取决于i和j的值；但是，在给定条件下在for循环中运行时，内部for循环的一次迭代中对sum的所有调用的总时间复杂度为O（n ^ 2）。最后，由于该内部for循环执行了n次，因此整个算法的总时间复杂度为O（n ^ 3）。