Question

我有上面描述的以下numpy数组。

类似

的功能

print(arr.argsort()[:3])

将返回三个最小值的三个最低指数：

[69 66 70]

如何返回 first index，其中前一个minimum或前一个saddle point（从微积分的角度来看），以数组中的第一个为准？

在这种情况下，0.62026396 0.60566623 2和3处的两个数字index是第一个saddle point（因为斜率不会变平，所以它不是真正的saddle point ，但显然打破了那里的硬性下降坡度。也许增加了“展平”含义的阈值）。由于函数永远不会在第一个saddle point之前上升，因此第一个mimimum会在saddle point之后出现，这就是我感兴趣的索引。

[1.04814804 0.90445908 0.62026396 0.60566623 0.32295758 0.26658469
 0.19059289 0.10281547 0.08582772 0.05091265 0.03391474 0.03844931
 0.03315003 0.02838656 0.03420759 0.03567401 0.038203   0.03530763
 0.04394316 0.03876966 0.04156067 0.03937291 0.03966426 0.04438747
 0.03690863 0.0363976  0.03171374 0.03644719 0.02989291 0.03166156
 0.0323875  0.03406287 0.03691943 0.02829374 0.0368121  0.02971704
 0.03427005 0.02873735 0.02843848 0.02101889 0.02114978 0.02128403
 0.0185619  0.01749904 0.01441699 0.02118773 0.02091855 0.02431763
 0.02472427 0.03186318 0.03205664 0.03135686 0.02838413 0.03206674
 0.02638371 0.02048122 0.01502128 0.0162665  0.01331485 0.01569286
 0.00901017 0.01343558 0.00908635 0.00990869 0.01041151 0.01063606
 0.00822482 0.01312368 0.0115005  0.00620334 0.0084177  0.01058152
 0.01198732 0.01451455 0.01605602 0.01823713 0.01685975 0.03161889
 0.0216687  0.03052391 0.02220871 0.02420951 0.01651778 0.02066987
 0.01999613 0.02532265 0.02589186 0.02748692 0.02191687 0.02612152
 0.02309497 0.02744753 0.02619196 0.02281516 0.0254296  0.02732746
 0.02567608 0.0199178  0.01831929 0.01776025]

Answer 1

您可以使用np.gradient或np.diff来评估差异（第一个计算中心差异，第二个只是x [1：]-x [：-1]），然后使用{{1 }}来获取渐变符号，再使用另一个np.sign来查看符号的变化位置。然后过滤正号变化（对应于最小值）：

np.diff

Answer 2

这就是我检测局部最大值/最小值，拐点和鞍座的方式。

首先定义以下功能

import numpy as np


def n_derivative(arr, degree=1):
    """Compute the n-th derivative."""
    result = arr.copy()
    for i in range(degree):
        result = np.gradient(result)
    return result


def sign_change(arr):
    """Detect sign changes."""
    sign = np.sign(arr)
    result = ((np.roll(sign, 1) - sign) != 0).astype(bool)
    result[0] = False
    return result


def zeroes(arr, threshold=1e-8):
    """Find zeroes of an array."""
    return sign_change(arr) | (abs(arr) < threshold)

我们现在可以使用derivative test

临界点的一阶导数等于零。

def critical_points(arr):
    return zeroes(n_derivative(arr, 1))

如果关键点的二阶导数为非零，则该点为最大值或最小值：

def maxima_minima(arr):
    return zeroes(n_derivative(arr, 1)) & ~zeroes(n_derivative(arr, 2))


def maxima(arr):
    return zeroes(n_derivative(arr, 1)) & (n_derivative(arr, 2) < 0)


def minima(arr):
    return zeroes(n_derivative(arr, 1)) & (n_derivative(arr, 2) > 0)

如果二阶导数等于零，但三阶导数不为零，则该点是拐点：

def inflections(arr):
    return zeroes(n_derivative(arr, 2)) & ~zeroes(n_derivative(arr, 3))

如果临界点的二阶导数等于零，但三阶导数不为零，则这是一个鞍形：

def inflections(arr):
    return zeroes(n_derivative(arr, 1)) & zeroes(n_derivative(arr, 2)) & ~zeroes(n_derivative(arr, 3))

请注意，此方法在数值上不稳定，从某种意义上说，一方面是在某个任意阈值定义上检测到零，另一方面，不同的采样可能导致函数/数组不可微。因此，根据此定义，您实际上期望的不是鞍点。

要更好地近似连续函数，可以对大量过度采样（根据代码中的K）使用三次插值，例如：

import scipy as sp
import scipy.interpolate

data = [
    1.04814804, 0.90445908, 0.62026396, 0.60566623, 0.32295758, 0.26658469, 0.19059289,
    0.10281547, 0.08582772, 0.05091265, 0.03391474, 0.03844931, 0.03315003, 0.02838656,
    0.03420759, 0.03567401, 0.038203, 0.03530763, 0.04394316, 0.03876966, 0.04156067,
    0.03937291, 0.03966426, 0.04438747, 0.03690863, 0.0363976, 0.03171374, 0.03644719,
    0.02989291, 0.03166156, 0.0323875, 0.03406287, 0.03691943, 0.02829374, 0.0368121,
    0.02971704, 0.03427005, 0.02873735, 0.02843848, 0.02101889, 0.02114978, 0.02128403,
    0.0185619, 0.01749904, 0.01441699, 0.02118773, 0.02091855, 0.02431763, 0.02472427,
    0.03186318, 0.03205664, 0.03135686, 0.02838413, 0.03206674, 0.02638371, 0.02048122,
    0.01502128, 0.0162665, 0.01331485, 0.01569286, 0.00901017, 0.01343558, 0.00908635,
    0.00990869, 0.01041151, 0.01063606, 0.00822482, 0.01312368, 0.0115005, 0.00620334,
    0.0084177, 0.01058152, 0.01198732, 0.01451455, 0.01605602, 0.01823713, 0.01685975,
    0.03161889, 0.0216687, 0.03052391, 0.02220871, 0.02420951, 0.01651778, 0.02066987,
    0.01999613, 0.02532265, 0.02589186, 0.02748692, 0.02191687, 0.02612152, 0.02309497,
    0.02744753, 0.02619196, 0.02281516, 0.0254296, 0.02732746, 0.02567608, 0.0199178,
    0.01831929, 0.01776025]
samples = np.arange(len(data))
f = sp.interpolate.interp1d(samples, data, 'cubic')

K = 10
N = len(data) * K

x = np.linspace(min(samples), max(samples), N)
y = f(x)

然后，所有这些定义都可以通过以下方式进行视觉测试：

import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure()
plt.plot(samples, data, label='data')
plt.plot(x, y, label='f')
plt.plot(x, n_derivative(y, 1), label='d1f')
plt.plot(x, n_derivative(y, 2), label='d2f')
plt.plot(x, n_derivative(y, 3), label='d3f')
plt.legend()
for w in np.where(inflections(y))[0]:
    plt.axvline(x=x[w])
plt.show()

但即使在这种情况下，这一点也不是问题。

Answer 3

看了一会儿，并从给出的两个建议（到目前为止）中，我做到了：

import scipy
from scipy import interpolate

x = np.arange(0, 100)
spl = scipy.interpolate.splrep(x,arr,k=3) # no smoothing, 3rd order spline
ddy = scipy.interpolate.splev(x,spl,der=2) # use those knots to get second derivative 
print(ddy)

asign = np.sign(ddy)
signchange = ((np.roll(asign, 1) - asign) != 0).astype(int)
print(signchange)

这给了我second derivative，然后我可以进行分析，例如查看符号变化发生的位置：

[-0.894053   -0.14050616  0.61304067 -0.69407217  0.55458251 -0.16624336
 -0.0073225   0.12481963 -0.067218    0.03648846  0.02876712 -0.02236204
  0.00167794  0.01886512 -0.0136314   0.00953279 -0.01812436  0.03041855
 -0.03436446  0.02418512 -0.01458896  0.00429809  0.01227133 -0.02679232
  0.02168571 -0.0181437   0.02585209 -0.02876075  0.0214645  -0.00715966
  0.0009179   0.00918466 -0.03056938  0.04419937 -0.0433638   0.03557532
 -0.02904901  0.02010647 -0.0199739   0.0170648  -0.00298236 -0.00511529
  0.00630525 -0.01015011  0.02218007 -0.01945341  0.01339405 -0.01211326
  0.01710444 -0.01591092  0.00486652 -0.00891456  0.01715403 -0.01976949
  0.00573004 -0.00446743  0.01479495 -0.01448144  0.01794968 -0.02533936
  0.02904355 -0.02418628  0.01505374 -0.00499926  0.00302616 -0.00877499
  0.01625907 -0.01240068 -0.00578862  0.01351128 -0.00318733 -0.0010652
  0.0029     -0.0038062   0.0064102  -0.01799678  0.04422601 -0.0620881
  0.05587037 -0.04856099  0.03535114 -0.03094757  0.03028399 -0.01912546
  0.01726283 -0.01392421  0.00989012 -0.01948119  0.02504401 -0.02204667
  0.0197554  -0.01270022 -0.00260326  0.01038581 -0.00299247 -0.00271539
 -0.00744152  0.00784016  0.00103947 -0.00576122]

[0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1
 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1
 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1]

numpy数组的第一个最小OR鞍点（演算微分）是什么？

3 个答案: