Question

我目前正在编写计算器应用程序。我正试图在其中编写衍生估算器。下面的公式是一种简单的方法。通常在纸上你会使用最小的h来获得最准确的估计。问题是双打无法处理将相当大的数字添加到真正的小数字。例如4 + 1E-200只会产生4.0。即使h只是1E-16,4 + 1E16实际上会给你正确的值，但是数学它是不准确的，因为在第16位之后的任何东西都会丢失并且舍入不能正确发生。我听说双打的一般经验法则是1E-8或1E-7。这个问题是大数字不会工作，因为2E231 + 1E-8只是2E23,1E-8将因为尺寸问题而丢失。

f'(x)=(f(x+h)-f(x))/h as x approaches 0

当我在第4点测试f（x）= x ^ 2所以f'（4）时，它应该是8 现在我明白我可能永远不会得到8.但我最准确的似乎是1E-7或1E8左右有趣的是1E-9所有1E-11给出了相同的答案。以下是f(x)=x^2 at x=4

的h和结果列表

1E-7 8.000000129015916
1E-8 7.999999951380232
1E-9 8.000000661922968
1E-10 8.000000661922968
1E-11 8.000000661922968
1E-12 8.000711204658728

以下是我的问题：

选择h的最佳方式是什么，显然1E-8或1E-7有意义，但我怎样才能选择基于x的h，这样即使x为3.14E203，它也适用于任何大小的数字2E-231。
我应该考虑多少小数的精度。
你知道德州乐器如何做到这一点，TI 83,84和Inspire可以数字地计算衍生物到12位小数或精度，几乎总是正确的，但无论如何它们的最大精度是12位数那些计算器是非CAS的，所以他们实际上并没有得到任何东西
从逻辑上讲，1E-7和1E-8之间有一个数字会给我一个更精确的结果，有没有办法找到这个数字，或者至少接近它。

ANSWERED

非常感谢BobG。该应用程序目前计划为2种形式，即命令行PC应用程序。还有一个Android应用程序。特别要感谢About页面的部分内容。如果你想它将是开源的，但我没有发布到项目网站的链接，直到我找出一些非常大的错误。目前我一直称它为Mathulator，但名称可能会改变，因为它已经有版权并且听起来很愚蠢。我不知道发布候选版本何时会运行，目前我还没有任何线索会稳定的。但如果我能实现我想要的一切，它将会非常强大。再次感谢。快乐编程。

Answer 1

有一本书可以回答这个问题（和其他人一样）：

数字食谱在C ，第2版，由Press，Vetterling，Teukolsky和Flannery。本书还有C ++，Fortran和BASIC版本。可悲的是，没有Java版本。此外，我相信这本书绝版，但可以在线购买某些口味的二手版本（至少通过bn.com。）

第5.7节“数值导数”，p。 186准确地解释了你在数值导数和数字导数背后的数学问题，以及如何正确计算数值导数的函数（在C中，但它应该很容易转换为Java）。它们的简单近似概述如下：

1）在数值上，你最好不要计算对称版本：

f'（x）=（f（x + h） - f（x - h））/ 2h

2）h应该是近似的（sigma_f）^（1/3）* x_c

，其中

sigma_f =〜对于简单函数计算f（x）的分数精度

x_c = ~x，除非x等于零。

然而，这不会产生最佳导数，因为误差是〜（sigma_f）^（2/3）。一个更好的解决方案是Ridders算法，该书在本书中作为C程序呈现（参考Ridders，C.J.F。1982，Advances in Engineering Software，第4卷，第2期，第75-76页。）

Answer 2

阅读题为“每位程序员应该了解浮点数”的论文（google for it）。然后，您将看到大多数浮动值大致表示在计算机硬件中。

要进行没有此缺点的计算，请使用符号计算。但这并不像使用浮点那样有效。

要使浮点结果保持一致，请使用舍入到最接近的幂10，例如0.1,0.01等。要了解何时应停止近似，请在近似步骤中使用某种阈值进行监视。例如，如果执行下一个近似步骤仅产生.001％的变化已经计算出的值，那么继续近似是没有意义的。

更新很久以前我有我的数值计算类，但我可以模糊地回忆起减去接近的数字是非常糟糕的，因为如果数字非常接近，那么最可靠的数字会被取消，你就不可靠了数字。这正是减少h时发生的情况。在这些情况下建议的是替代减法与其他一些操作。例如，您可以切换到`f（x）展开的某种系列。

我不太明白你的第二个问题，因为答案取决于你的要求 - “尽可能多的”。

顺便说一下，在math.stackexchange.com上找到问题的答案可能会更好。

此外，请访问thrashgod提供的链接：Numerical differentiation

Answer 3

1.浮点数（浮点数和双精度数）的精度取决于数字的绝对值。双打精度约为15位，因此您可以添加1 + 1e-15，但10 + 1e-15可能会再次为10，因此您必须执行10 + 1e-14。为了获得有意义的结果，我建议你将1e-8乘以原始数字的绝对值，这将在导数中给出大约7个正确的数字。类似的东西：

double h = x * 1e-8;
double derivative = (f(x+h) - f(x)) / h;

无论如何，这是一个近似值，比方说，如果你试图在x = 1e9处计算sin（x）的导数，你将得到h = 10并且结果都是错误的。但对于“有趣”部分接近零的“常规”功能，这将很有效。

2.少于“h”，您对衍生物进行采样的点越精确，但您得到的导数的正确数字越少。我无法证明这一点，但我的直觉是h = x * 1e-8 7 = 15 - 8得到double正确的数字，其中15是double derivative = (f(x+h) - f(x-h)) / (2*h);的精确度。

此外，使用“更对称”公式是个好主意，它给出了二阶多项式的绝对正确答案：

{{1}}

Answer 4

我的问题是什么是最合适的 h ，以及它如何缩放到任何大小。

如Numerical Differentiation所述， h 的合适选择是 sqrt（ɛ） * x ，其中 ɛ是machine epsilon。

Answer 5

我会使用BigDecimal类进行这种计算，虽然它不是你问题的答案，但它确实会提高浮点运算的精度。

Answer 6

根据Javadoc，11位代表指数，52位代表有效数字。忽略指数，似乎你有52位可以使用。所以如果你选择h = x * 2 ^ -40，你在这里使用了40位，你将看到的精度是2 ^ -12。根据您的需要调整此比率。

Java估计了某一点的导数

6 个答案: