Question

我需要执行以下算法：

long a,b,c;
long result = a*b/c;

虽然保证结果适合long，但乘法不正确，因此可能会溢出。

我试图通过将a*b的中间结果分成最大为4的int数组（与BigInteger正在使用的一样）来逐步处理（先相乘然后相除），同时处理溢出其int[] mag变量）。

在这里，我陷入了分裂。我无法理解进行精确除法所需的按位移位。我需要的只是商（不需要余数）。

假设的方法是：

public static long divide(int[] dividend, long divisor)

我也不考虑使用BigInteger，因为这部分代码需要很快（我想坚持使用基本体和基本体数组）。

任何帮助将不胜感激！

编辑：我并不是要自己实现整个BigInteger。我想做的是比使用通用的a*b/c更快地解决特定问题（a*b，BigInteger可能会溢出）。

Edit2：最好以一种聪明的方式完成，因为它根本不会溢出，注释中浮现了一些技巧，但我仍在寻找一个正确的技巧

更新：我尝试将BigInteger代码移植到我的特定需求，而不创建对象，并且在第一次迭代中，与使用BigInteger相比（在我的开发PC上），我的速度提高了约46％。

然后，我尝试了一些经过修改的@David Eisenstat解决方案，与BigInteger相比，该解决方案使我的运行时间减少了约56％（我从Long.MIN_VALUE运行到Long.MAX_VALUE的100_000_000_000个随机输入）减少了运行时间（超过2倍）（与我采用的BigInteger算法相比，约为18％）。

关于优化和测试的迭代将会更多，但是在这一点上，我认为我必须接受最佳答案。

Answer 1

我一直在尝试一种方法（1）将a和b乘以21位肢上的school算法（2）进行长除以c ，其残差a*b - c*q的不寻常表示形式是使用double存储高阶位，而使用long存储低阶位。我不知道能否将其与标准的长距离比赛竞争，但是为了您的享受，

public class MulDiv {
  public static void main(String[] args) {
    java.util.Random r = new java.util.Random();
    for (long i = 0; true; i++) {
      if (i % 1000000 == 0) {
        System.err.println(i);
      }
      long a = r.nextLong() >> (r.nextInt(8) * 8);
      long b = r.nextLong() >> (r.nextInt(8) * 8);
      long c = r.nextLong() >> (r.nextInt(8) * 8);
      if (c == 0) {
        continue;
      }
      long x = mulDiv(a, b, c);
      java.math.BigInteger aa = java.math.BigInteger.valueOf(a);
      java.math.BigInteger bb = java.math.BigInteger.valueOf(b);
      java.math.BigInteger cc = java.math.BigInteger.valueOf(c);
      java.math.BigInteger xx = aa.multiply(bb).divide(cc);
      if (java.math.BigInteger.valueOf(xx.longValue()).equals(xx) && x != xx.longValue()) {
        System.out.printf("a=%d b=%d c=%d: %d != %s\n", a, b, c, x, xx);
      }
    }
  }

  // Returns truncate(a b/c), subject to the precondition that the result is
  // defined and can be represented as a long.
  private static long mulDiv(long a, long b, long c) {
    // Decompose a.
    long a2 = a >> 42;
    long a10 = a - (a2 << 42);
    long a1 = a10 >> 21;
    long a0 = a10 - (a1 << 21);
    assert a == (((a2 << 21) + a1) << 21) + a0;
    // Decompose b.
    long b2 = b >> 42;
    long b10 = b - (b2 << 42);
    long b1 = b10 >> 21;
    long b0 = b10 - (b1 << 21);
    assert b == (((b2 << 21) + b1) << 21) + b0;
    // Compute a b.
    long ab4 = a2 * b2;
    long ab3 = a2 * b1 + a1 * b2;
    long ab2 = a2 * b0 + a1 * b1 + a0 * b2;
    long ab1 = a1 * b0 + a0 * b1;
    long ab0 = a0 * b0;
    // Compute a b/c.
    DivBy d = new DivBy(c);
    d.shift21Add(ab4);
    d.shift21Add(ab3);
    d.shift21Add(ab2);
    d.shift21Add(ab1);
    d.shift21Add(ab0);
    return d.getQuotient();
  }
}

public strictfp class DivBy {
  // Initializes n <- 0.
  public DivBy(long d) {
    di = d;
    df = (double) d;
    oneOverD = 1.0 / df;
  }

  // Updates n <- 2^21 n + i. Assumes |i| <= 3 (2^42).
  public void shift21Add(long i) {
    // Update the quotient and remainder.
    q <<= 21;
    ri = (ri << 21) + i;
    rf = rf * (double) (1 << 21) + (double) i;
    reduce();
  }

  // Returns truncate(n/d).
  public long getQuotient() {
    while (rf != (double) ri) {
      reduce();
    }
    // Round toward zero.
    if (q > 0) {
      if ((di > 0 && ri < 0) || (di < 0 && ri > 0)) {
        return q - 1;
      }
    } else if (q < 0) {
      if ((di > 0 && ri > 0) || (di < 0 && ri < 0)) {
        return q + 1;
      }
    }
    return q;
  }

  private void reduce() {
    // x is approximately r/d.
    long x = Math.round(rf * oneOverD);
    q += x;
    ri -= di * x;
    rf = repairLowOrderBits(rf - df * (double) x, ri);
  }

  private static double repairLowOrderBits(double f, long i) {
    int e = Math.getExponent(f);
    if (e < 64) {
      return (double) i;
    }
    long rawBits = Double.doubleToRawLongBits(f);
    long lowOrderBits = (rawBits >> 63) ^ (rawBits << (e - 52));
    return f + (double) (i - lowOrderBits);
  }

  private final long di;
  private final double df;
  private final double oneOverD;
  private long q = 0;
  private long ri = 0;
  private double rf = 0;
}

Answer 2

您可以使用最大公约数（gcd）来提供帮助。

a * b / c = (a / gcd(a,c)) * (b / (c / gcd(a,c)))

编辑：OP要求我解释上述方程式。基本上，我们有：

a = (a / gcd(a,c)) * gcd(a,c)
c = (c / gcd(a,c)) * gcd(a,c)

Let's say x=gcd(a,c) for brevity, and rewrite this.

a*b/c = (a/x) * x * b 
        --------------
        (c/x) * x

Next, we cancel

a*b/c = (a/x) * b 
        ----------
        (c/x)

您可以更进一步。令y = gcd（b，c / x）

a*b/c = (a/x) * (b/y) * y 
        ------------------
        ((c/x)/y) * y 

a*b/c = (a/x) * (b/y) 
        ------------
           (c/(xy))

这里是获取gcd的代码。

static long gcd(long a, long b) 
{ 
  if (b == 0) 
    return a; 
  return gcd(b, a % b);  
}

Answer 3

David Eisenstat让我思考了更多。
我希望简单的情况尽快出现：让double处理这一点。对于其他人，Newton-Raphson可能是更好的选择。

 /** Multiplies both <code>factor</code>s
  *  and divides by <code>divisor</code>.
  * @return <code>Long.MIN_VALUE</code> if result out of range,<br/>
  *     else <code>factorA * factor1 / divisor</code> */
    public static long
    mulDiv(long factorA, long factor1, long divisor) {
        final double dd = divisor,
            product = (double)factorA * factor1,
            a1_d = product / dd;
        if (a1_d < -TOO_LARGE || TOO_LARGE < a1_d)
            return tooLarge();
        if (-ONE_ < a1_d && a1_d < ONE_)
            return 0;
        if (-EXACT < product && product < EXACT)
            return (long) a1_d;
        long pLo = factorA * factor1, //diff,
            pHi = high64(factorA, factor1);
        if (a1_d < -LONG_MAX_ || LONG_MAX_ < a1_d) {
            long maxdHi = divisor >> 1;
            if (maxdHi < pHi
                || maxdHi == pHi
                   && Long.compareUnsigned((divisor << Long.SIZE-1),
                                           pLo) <= 0)
                return tooLarge();
        }
        final double high_dd = TWO_POWER64/dd;
        long quotient = (long) a1_d,
            loPP = quotient * divisor,
            hiPP = high64(quotient, divisor);
        long remHi = pHi - hiPP, // xxx overflow/carry
            remLo = pLo - loPP;
        if (Long.compareUnsigned(pLo, remLo) < 0)
            remHi -= 1;
        double fudge = remHi * high_dd;
        if (remLo < 0)
            fudge += high_dd;
        fudge += remLo/dd;
        long //fHi = (long)fudge/TWO_POWER64,
            fLo = (long) Math.floor(fudge); //*round
        quotient += fLo;
        loPP = quotient * divisor;
        hiPP = high64(quotient, divisor);
        remHi = pHi - hiPP; // should be 0?!
        remLo = pLo - loPP;
        if (Long.compareUnsigned(pLo, remLo) < 0)
            remHi -= 1;
        if (0 == remHi && 0 <= remLo && remLo < divisor)
            return quotient;

        fudge = remHi * high_dd;
        if (remLo < 0)
            fudge += high_dd;
        fudge += remLo/dd;
        fLo = (long) Math.floor(fudge);
        return quotient + fLo;
    }

 /** max <code>double</code> trusted to represent
  *  a value in the range of <code>long</code> */
    static final double
        LONG_MAX_ = Double.valueOf(Long.MAX_VALUE - 0xFFF);
 /** max <code>double</code> trusted to represent a value below 1 */
    static final double
        ONE_ = Double.longBitsToDouble(
                    Double.doubleToRawLongBits(1) - 4);
 /** max <code>double</code> trusted to represent a value exactly */
    static final double
        EXACT = Long.MAX_VALUE >> 12;
    static final double
        TWO_POWER64 = Double.valueOf(1L<<32)*Double.valueOf(1L<<32);

    static long tooLarge() {
//      throw new RuntimeException("result too large for long");
        return Long.MIN_VALUE;
    }
    static final long   ONES_32 = ~(~0L << 32);

    static long high64(long factorA, long factor1) {
        long loA = factorA & ONES_32,
            hiA = factorA >>> 32,
            lo1 = factor1 & ONES_32,
            hi1 = factor1 >>> 32;
        return ((loA * lo1 >>> 32)
                +loA * hi1 + hiA * lo1 >>> 32)
               + hiA * hi1;
    }

（我将这些代码从IDE中重新排列了一些，使mulDiv()位于顶部。懒惰，我有一个用于处理标志的包装器-可以尝试在地狱冻结之前正确地完成操作。
对于计时，迫切需要输入模型：
如何使每个结果都有同等可能性？）

Answer 4

也许不是很聪明，但是结果时间是线性的

#define MUL_DIV_TYPE    unsigned int
#define BITS_PER_TYPE   (sizeof(MUL_DIV_TYPE)*8)
#define TOP_BIT_TYPE    (1<<(BITS_PER_TYPE-1))

//
//    result = ( a * b ) / c, without intermediate overflow.
//
MUL_DIV_TYPE mul_div( MUL_DIV_TYPE a, MUL_DIV_TYPE b, MUL_DIV_TYPE c ) {
    MUL_DIV_TYPE    st, sb;     // product sum top and bottom

    MUL_DIV_TYPE    d, e;       // division result

    MUL_DIV_TYPE    i,      // bit counter
            j;      // overflow check

    st = 0;
    sb = 0;

    d = 0;
    e = 0;

    for( i = 0; i < BITS_PER_TYPE; i++ ) {
        //
        //  Shift sum left to make space
        //  for next partial sum
        //
        st <<= 1;
        if( sb & TOP_BIT_TYPE ) st |= 1;
        sb <<= 1;
        //
        //  Add a to s if top bit on b
        //  is set.
        //
        if( b & TOP_BIT_TYPE ) {
            j = sb;
            sb += a;
            if( sb < j ) st++;
        }
        //
        //  Division.
        //
        d <<= 1;
        if( st >= c ) {
            d |= 1;
            st -= c;
            e++;
        }
        else {
            if( e ) e++;
        }
        //
        //  Shift b up by one bit.
        //
        b <<= 1;
    }
    //
    //  Roll in missing bits.
    //
    for( i = e; i < BITS_PER_TYPE; i++ ) {
        //
        //  Shift across product sum
        //
        st <<= 1;
        if( sb & TOP_BIT_TYPE ) st |= 1;
        sb <<= 1;
        //
        //  Division, continued.
        //
        d <<= 1;
        if( st >= c ) {
            d |= 1;
            st -= c;
        }
    }
    return( d );  // remainder should be in st
}

Answer 5

将a / c和b / c分为整数和小数（余数）部分，那么您将：

a*b/c 
= c * a/c * b/c 
= c * (x/c + y/c) * (z/c + w/c)
= xz/c + xw/c + yz/c + yw/c where x and z are multiples of c

这样，您可以轻松计算前三个因子，而不会发生溢出。以我的经验，这通常足以应付典型的溢出情况。但是，如果您的除数太大，导致(a % c) * (b % c)溢出，则此方法仍然会失败。如果这是您的典型问题，则可能需要查看其他方法（例如，将a和b以及c和c中的最大值除以2，直到不再有溢出为止，但是如何这样做又不会引起其他错误，这是由于该过程中的偏见是不平凡的-您可能需要在单独的变量中保持错误的连续得分）

无论如何，上面的代码：

long a,b,c;
long bMod = (b % c)
long result = a * (b / c) + (a / c) * bMod + ((a % c) * bMod) / c;

如果速度是一个很大的问题（由于您正在询问，我假设速度至少在某种程度上如此），则您可能需要考虑将a/c和b/c存储在变量和通过乘法计算mod，例如将(a % c)替换为(a - aDiv * c)-这使您可以将每次调用从4个分区转换为2个分区。

Answer 6

您假设以下内容：

long a,b,c;
long result = a*b/c;

所有3个操作数均为long类型
结果是long类型
a * b可能更大，不适合long类型

数学上的口语

(a * b) / c = (a / c) * b = a * (b / c)

a / c肯定是long类型
b / c肯定是long类型

只要您的假设是正确的（结果的类型为long），就需要将（a）和（b）中较大的一个除以（c），然后再相乘以得到不大于输入长号。

但是：

long类型不包含小数。因此，我们还需要保存除法的其余部分。

(a * b) / c = (a / c) * b + (a % c) * b

我们假设（a％c）* b为我们提供了清晰的长值而不是双值。或者，我们可以使用：

(a * b) / c = (b / c) * a + (b % c) * a

我们假设（b％c）* a不包含小数点。

尽管如此，@ Jesper是正确的。只要您不打算进行数百万次此计算，就可以使用现有的大类型。

（a * b）/ c MulDiv并处理来自中间乘法的溢出

6 个答案: