在内涵类型理论之上的定义和命题可扩展性是否相等？

Question

我正在阅读有关n-lab上有关extensional type theory的文章，其中提到了使内涵类型理论可扩展的两种方法。

1. 定义性：添加规则p:Id(x,y) => x===y
命题：在类型理论中添加以下内容之一
• 公理UIP
• 公理K
• 公理说明Id((a,b_1),(a,b_2)) => Id(b_1,b_2)，其中(a,b_1)和(a,b_2)都是从属对
• 添加与原始Agda中一样的不受约束的模式匹配

我的问题是这两种方式是否等效？

特别是，如果可以，可以从公理K或UIP派生p:Id(x,y) => x===y吗？

Answer 1

n-lab对类型理论进行可扩展性的理解是相当独特的。不过，如果您最感兴趣的是Id类型是否可以无扩展地扩展，这是有道理的，如果您拥有UIP，则不是这种情况。

（1）确实暗示着（2）（使用问题中的数字），所以它与单调性不一致。

（1）是更传统的资源与“扩展类型理论”相关联的规则。

但是（2）并不意味着（1），因为对于类似Agda这样的理论，Id类型的正则性将表明，Id在空上下文中的任何证明都是自反性，而（1 ）表示功能可扩展性。