为什么不合并排序O（N ^ 2）？请看这个例子

Question

由16个元素组成的冒泡排序需要15步进行2-2比较，以对它们进行逐一排序。

合并排序首先将它们划分为16个元素，然后每次合并2个元素，但是如果绘制图片，总体步骤仍为15，即8 + 4 + 2 + 1 = 15 在这种情况下，合并成本O（n），而2-2比较成本O（n）则应为O（n ^ 2）。 为什么它是假的？

Answer 1

合并排序的时间复杂度为O（ n log n ）。

通过仔细检查您描述的迭代实现，可以更轻松地确认这一点。该算法扫描列表日志（ n ）次。在您的示例中，它合并每对，然后每四对，然后每八对，然后全部十六对，合并起来总共进行4 = log ₂ （16）次迭代。由于列表本身的长度为 n ，因此总时间复杂度为 n log（ n ），可通过计算通过扫描16个项目的列表4次，总共迭代了64个元素。

假设每个合并都以O（ n ）的时间复杂度执行，则分析中的错误是错误的。合并排序中每个合并的时间复杂度不能用 n 来简单表示。

Answer 2

我总是发现可视化合并排序的最佳方法是绘制其递归树。

为简单起见，让我们假设我们正在处理一个大小为2的幂的列表。

递归深度

我们应该问的第一个问题是：递归深度是多少？

由于每次递归，归并排序将列表分为两部分，所以递归的数量直到到达基本情况等于n可以除以2的时间。即 log（n） 定义。

在给定深度处的台阶

然后我们计算在给定的递归深度下要合并所有子列表的步骤。

假设我们处于深度 k ，其中 k = 1 是顶层，我们有2 ^k-1 对子列表大小分别为 n / 2 ^k 。通过将子列表两两合并，我们需要 2 ^k-1 *（2 * n / 2 ^k ），正好是 n 个步骤。

您的错误来自上述步骤，您错误地认为合并总是需要 n 个步骤，而实际上却需要 n / 2 ^k-1 ，其中 k 是递归深度。

结论

如果我们有 log（n）个递归级别，并且每个递归级别都 n 个步骤，则说明我们有 n个log（n）步骤我们的算法。

结论：合并排序为 O（n log（n））

Answer 3

我在声明中注意到了逻辑错误。 2-2个比较步骤并不能单独确定复杂性，当您对1个元素和1个元素进行排序时，只需花费O（1）即可完成，这样的行为中有16个变为o（N），从这个意义上讲，是合并sort的合并次数为logN次，每次合并都需要进行22个比较的步骤，但每次的总体复杂度仍为O（N）。 合并排序的功能在于它分配的额外空间，当为要比较的较小元素数创建新矢量时，它会降低每个较小子集的比较成本。