为什么冒泡排序复杂度为O（n ^ 2）？

Question

据我了解，算法的复杂性是排序时执行的最大操作次数。因此，冒泡排序的复杂性应该是算术级数（从1到n-1）的总和，而不是n ^ 2。 以下实现计算比较次数：

public int[] sort(int[] a) {
    int operationsCount = 0;
    for (int i = 0; i < a.length; i++) {
        for(int j = i + 1; j < a.length; j++) {
            operationsCount++;
            if (a[i] > a[j]) {
                int temp = a[i];
                a[i] = a[j];
                a[j] = temp;
            }
        }
    }
    System.out.println(operationsCount);
    return a;
}

具有10个元素的数组的输出为45，因此它是从1到9的算术级数之和。

那么为什么冒号排序的复杂性是n ^ 2，而不是S（n-1）？

Answer 1

这是因为big-O表示法描述了算法的性质。扩展(n-1) * (n-2) / 2中的主要术语是n^2。因此，n增加所有其他术语变得微不足道。

欢迎您更准确地描述它，但是出于所有意图和目的，该算法展示了行为，其顺序为n^2。这意味着如果您将时间复杂度与n进行对比，您将看到抛物线增长曲线。

Answer 2

让我们做最坏的案例分析。

在最坏的情况下，if (a[i] > a[j])测试将始终为true，因此接下来的3行代码将在每个循环步骤中执行。内部循环从j = i + 1变为n-1，因此它将执行Sum_{j=i+1}^{n-1}{k}个基本操作（其中k是涉及创建temp变量的常量操作数，数组索引和价值复制）。如果求解求和，则会给出一些等于k(n-i-1)的基本运算。外部循环将重复此k(n-i-1)基本操作，从i = 0到i = n-1（即Sum_{i=0}^{n-1}{k(n-i-1)}）。因此，再次，如果您求解求和，您会看到最终的基本运算数与n ^ 2成正比。在最坏的情况下，算法是二次的。

当你在内循环中运行任何代码之前递增变量operationsCount时，我们可以说在我们之前的分析中k（在内循环内执行的基本操作的数量）是1.所以，求解Sum_{i=0}^{n-1}{n-i-1}给出n^2/2 - n/2，用10代替n给出45的最终结果，与运行代码得到的结果相同。