福特-福克森算法和最大流最小割定理

Question

嗨，我在用max-flow min-cut Theorem研究Ford-Fulkerson算法时遇到了麻烦。

根据该定理，最大流量应与要切割的边缘的总重量相同。

但是，观看视频https://www.youtube.com/watch?v=Tl90tNtKvxs会让我感到困惑。讲师说，根据福特-福克森算法，最大流量为19，但是我找不到以19为代价的削减。

Answer 1

切口表示您在源极和漏极之间定义了切口。该切口不必是直线，曲线或任何其他形状就可以。

例如，在这里我选择了 blue 切割，以使边缘 AB ， AD 和 CD 都通过那个切口。现在，如果我们看一下这些边的分配流，并对它们进行求和，就得出 4 + 6 + 9 = 19 。

另一种选择是绿色。在这里，我们有 BT ， AD 和 AC 沿“向前”移动的边缘，以及有 DC 沿移动“向后”。因此，流量的总和为 9 + 6 + 9-5 = 19 。因此，无论我们采取什么削减措施，总和始终为19（当然，我们需要进行适当的簿记，并从相反的方向减去流量）。

当然，您可以选择任何所需的剪切（例如，紧接在源之后或流失之前的剪切），如果算法正确完成，则所有这些剪切的总和始终为19。这是合乎逻辑的，因为如果一个剪切的流量将大于（或小于）19，则存在一个剪切的存在会“推进”一个流量为19的节点，这意味着该节点中的流量已经消失或出现。

但是它认为，如果您要遍历所有可能的削减，那么最小削减就是使容量总和最大化的削减。因此，严格来说，我们可以遍历所有可能的削减，并每次跟踪容量之和，最后选择流量最小的那个。天真的方法，如果只是简单地迭代所有切割，则会产生 O（2 ⁿ ）算法，与 Ford–Fulkerson算法相比 em>，当然是不可取的。

Answer 2

您对最大流最小割定理的解释没错。

最小切割集由边缘SA和CD组成，总容量为19。

要进行削减并计算成本，您可以：

1. 将所有顶点分为S和D两套，以使源极位于S端，漏极位于D端。
2. 从S顶点到D顶点剪切所有边缘。请注意，您无需剪切从D到S的边缘。
3. 加总裁切边缘的容量。

对于上面的最小值，S包含顶点s和c，而D包含其余顶点。