与Maclaurin系列的函数逼近

Question

我需要给定精度的约（1-x）^ 0.25（例如0.0001）。我正在使用expansion found on Wikipedia作为（1 + x）^ 0.25。当当前表达式小于精度时，我需要停止近似。

long double s(long double x, long double d) {
    long double w = 1;
    long double n = 1; // nth expression in series
    long double tmp = 1;

    // sum while last expression is greater than accuracy
    while (fabsl(tmp) >= d) {
        tmp *= (1.25 / n - 1) * (-x); // the next expression
        w += tmp; // is added to approximation
        n++; 
    } 

    return w;
}

不介意长双n。 ：P当我没有检查当前表达式的值但是我正在计算1000个或更多表达式时，这很有效。该函数的域是＆lt; -1; 1＆gt;并且s（）计算x in＆lt; -1; ~0.6＆gt;的近似值。参数越大，计算误差越大。从0.6开始，它超出了准确度。

我不确定这个问题是否足够清楚，因为我不太了解英语数学语言。事情就是条件以及函数s（）无法正确逼近的原因。

修改 问题大多解决了。当x> 0时，我必须从1中减去连续表达式的绝对值。

if (x<0)
   w += tmp;
else
   w -= fabsl(tmp);

之后，准确度增加很多（当然，狐狸x> 0）。冗余错误源于长双重不准确。就这样。无论如何，谢谢你们。

Answer 1

尝试绘制函数图形

abs((1.0+x)alpha - binomial_formula(alpha,x,tolerance))

即使在接近的x范围内，例如[-0.5; 0.5]，你会得到类似的东西：

这意味着您的二项式扩展实现不稳定。随着x从零开始越来越远 - 系列必须包含越来越多的术语以获得给定的精度。但是在当前的扩展实现中这样做会导致Catastrophic cancellation发生（一些浮点错误累积机制）。尝试阅读我给出的关于如何设计数值稳定算法的链接。

顺便说一下，谢谢你真正有趣的问题！

Answer 2

你的问题是虽然算法的迭代部分很好，但终止并不是你想象的那样。

当评估无限和时，您正在使用的泰勒级数展开是精确的。但是，您无法评估该无限和并且正在截断。

我想你假设当tmp小于你想要的容差时，w中的错误也小于那个容差。

然而，事实并非如此。每次迭代时的错误是剩余项的无限和。这是你扔掉的无数个术语的总和。其中第一个，即tmp在终止点的值，可能小于您的容差，但它们的总和可能大于您的容差。

当（-x）为负时，你恰好逃脱了它，因为tmp的交替符号对你有利。当（-x）为正时，当x接近于零时，你就会侥幸逃脱。

但是，我不相信有一个简单的方法来提出一个简单的通用停止标准。你必须能够对你丢弃的条款加以限制。这现在成为一个数学问题而不是编程问题。