条件变化时嵌套的时间复杂度

Question

我正在尝试解决此循环的复杂性

for(int i= 0; i < n; i++) {    
 c = i;    
 while(c > 1){     
  O(1);     
  c = c / 2;     
 }    
}

随着while条件在每个循环中的变化，我不知道如何计算这个奇怪的序列。

我的意思是，如果循环在哪里

for(int i= 0; i < n; i++) {     
 c = n;     
 while(c > 1){     
  O(1);     
  c = c / 2;     
 }
}

我知道while的复杂度为O（logn），并且自身重复n次，因此复杂度为O（nlogn）。

我上一个循环遇到的问题是“ c = i”。当c = i时，第一次（c = 0）循环将重现0次，当c = 1时，循环将重现0次，当c = 2时，循环将重现1次，然后序列将为0， 0、1、2、2、3、3 ...（每次for循环都进行复制）

O（logn）不会重复n次，而会重复我无法提出的多次，所以我不知道如何解决。

Answer 1

这需要一些数学运算。鉴于为a和b定义了正确的日志：

log(a) + log(b) = log(ab)

这里有

log(1) + log(2) +....+ log(n) = log(1*....*n) = log(n!)

日志（n！）有一个mathematical approximation，即

 log(n!) ~ nlog(n) - n + 1

其中显示O(log(n!)= O(nlog(n))