Question

我一直在寻找一些关于时间复杂性的帮助，并且当for循环中的变量都基于先前的for循环而变化时，无法找到太多。我在代码中编写了这个函数，并运行它以试图进一步理解，但是我只是无法把握它并将其放入公式中。也许如果有人能给我看一些关于如何可视化公式的提示，那就太棒了！这里没有进一步说明我写的功能：

    public static void function2(){
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
System.out.println("enter a value for n: ");
int n = scanner.nextInt();
int counter = 0;
for (int i = 1; i <= (n-2); i++){
    System.out.println("Entered outer loop");
    for (int j = i+1; j<= (n-1); j++){
        System.out.println("Entered middle loop");
        for (int k = j+1; k<= n; k++){
            System.out.println("Entered inner loop");
            System.out.println("Hello World");
            counter++;
        }
    }
}
 System.out.println("Hello world printed: " + counter + " times");
}

所以我根据不同的输入大小运行了这个函数，并收集了这些结果：如果n =（数字），则打印Hello world x次，n = 5,10x，n = 6,20x，n = 7,35x，n = 8,56x，n = 9,84x，n = 10,120x

我已经绘制了它，并且理解它是一个以指数速率增长的函数，但是我不确定具体的公式是什么。我还看到，当n = 5时，hello world以一个n-2，n-3，n-4次的模式输出，然后返回到中间循环，然后返回内部，运行n-3， n-4次，回到中间，然后回到内部运行n-4次。

如果有人可以帮助我更好地想象这一点，或者指出我正确的方向，那就太棒了！我觉得我非常接近答案。谢谢你的时间！

Answer 1

这是O（n ^ 3），因为时间复杂度会丢弃常数和低阶项。

如果我们不丢弃那些东西，那就是（n - 2）*（n - 1）/ 2 * n / 3。您可以通过以下方式自行推导出这个等式：

int n = 1000;
int loop1 = 0, loop2 = 0, loop3 = 0;
for (int i = 1; i <= (n-2); i++){
    loop1++;
    for (int j = i+1; j<= (n-1); j++){
        loop2++;
        for (int k = j+1; k<= n; k++){
            loop3++;
        }
    }
}
printf("%d %d %d\n", loop1, loop2, loop3);

对于n = 1000，这将打印“998 498501 166167000”。为了得到998到498501，我们乘以499.5，即（n - 1）/ 2。要从498501到166167000，我们乘以333.3333，即n / 3。而998显然是（n - 2）。把它放在一起，得到（n - 2）*（n - 1）/ 2 * n / 3。

如果你简化它，你会得到这个：

(n - 2) * (n - 1)/2 * n/3
(n - 2) * (n/2 - 1/2) * n/3
(n - 2) * (n/2 * n/3 - 1/2 * n/3)
(n - 2) * ((n^2)/6 - n/6)
(n^2)/6 * (n - 2) - n/6 * (n - 2)
n * (n^2)/6 - 2 * (n^2)/6 + n * -n/6 - 2 * -n/6
(n^3)/6 - (n^2)/3 - (n^2)/6 + n/3

(n^3)/6 - (n^2)/2 + n/3

但是，因为我们做删除常量和低阶项，所以简化为O（n ^ 3）。

嵌套for循环，改变变量时间复杂度

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