时间复杂性嵌套循环

Question

问题：

找出这个函数的复杂性（大theta）：

s <-- 0; 
i = 2;
while (i <= n^2) do 
    for j <-- i to 2i[ln(i)] do
        s <-- s + i - j;
    end
    i <-- i + 2;
end
return (s);

我得到了大的theta（n ^ 2（ln（n）），因为for循环将运行2i [ln（i）] - i次，这将是ci [ln（i）]时间。然后我乘以它由n ^ 2，因为这是while循环的大致时间。

我用不同的方式解决了它并得到了大的theta（n ^ 4）。

我不确定我的任何一个答案是否正确，这是基于我对如何在循环依赖与独立时解决这些问题的困惑。

Answer 1

最强大的解决方案是为2*(2i)*ln(i) - 2i + 1求和2 <= i <= n^2/2。我们有：

1 + 2 + ... + floor(n^2/2) = O(n^4)

鉴于：

1*ln(1) + ... + floor(n^2/2)*ln(floor(n^2/2)) = O(n^4*ln(n))

（不必考虑常数4。）

事实上，你甚至可以使用comparison with an integral渐近地得到一个与你的和相等的表达式。

因此时间复杂度为O(n^4*ln(n))-O(n^4)+O(n) = O(n^4*ln(n))。

没有MathJax编写数学是一种痛苦，here is a more detailed proof。