Question

我不确定以下代码的一般时间复杂性。

Sum = 0
for i = 1 to N
    if i > 10
        for j = 1 to i do
            Sum = Sum + 1

假设i和j增加1。我知道第一个循环是O（n），但第二个循环只在N> 1时运行。 10.一般时间复杂度是否为O（n ^ 2）？非常感谢任何帮助。

Answer 1

考虑Big O Notation的定义。

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让 f ：ℜ→ℜ和 g ：ℜ→ℜ。

然后， f （ x ）= O （ g （ X ）） ⇔ ∃ k ∈ℜℜ∋ M ＆gt; 0∈ℜℜ∋ x ≥ k ，| f （ x ）| ≤ M ⋅| g （ x ）|

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可以不那么正式地阅读：

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让 f 和 g 成为实数子集上定义的函数。

然后， f 是 g 的 O ，如果足够大 x ' s（这是 k 在正式定义中的含义）有一个常量 M （当然来自实数），这样< em> M 次 g （ x ）总是大于或等于（实际上，你可以增加 M 它总会更大，但我退步了） f （ x ）。

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（你可能会注意到，如果一个函数是 O （ n ），那么它也是 O （ n ²）和O（ e ^ n ），但当然我们通常对“最小”函数 g 感兴趣，这样它是 O （ g ）。事实上，当有人说 f 是 O g 那么他们几乎总是意味着 g 是最小的这样的函数。）

让我们将其转化为您的问题。让 f （ N ）为您的过程完成 N 的功能所需的时间。现在，假装添加需要一个单位时间来完成（并检查if语句并增加for循环，不需要时间），然后

f （1）= 0

f （2）= 0

...

f （10）= 0

f （11）= 11

f （12）= 23

f （13）= 36

f （14）= 50

我们希望找到一个 g （ N ）函数，以便 N 的值足够， f （ N ）≤M· g （ N ）。我们可以通过 g （ N ）= N ²来满足这个要求，而 M 只能是1（也许它可以要小一些，但我们并不在乎。在这种情况下，足够大意味着大于10（当然， f 仍然小于 M ⋅ g 对于 N ＆lt; 11）。

tl; dr：是的，一般时间复杂度为 O （ n ²），因为Big O假定你的N要去无穷大。

Answer 2

让我们假设你的代码是

Sum = 0
for i = 1 to N
   for j = 1 to i do
       Sum = Sum + 1

总共有N^2次总和操作。使用if i > 10的代码会减少10^2次总和操作。因此，对于足够大的N，我们有

N^2 - 10^2

操作。那是

O(N^2) - O(1) = O(N^2)

嵌套循环的时间复杂性，包括if语句

2 个答案: