嵌套循环的时间复杂度

Question

为什么时间复杂度

function (n)
{
    //this loop executes n times

    for( i = 1 ; i <= n ; i + + )
    //this loop executes j times with j increase by the rate of i
    for( j = 1 ; j <= n ; j+ = i )
    print( “*” ) ;

}

其运行时间为n *（n ^ 1/2）= n ^ 3/2

所以，O（n ^ 3/2）

请用数学步骤解释。

提前谢谢。

Answer 1

O(n^{3/2})的运行时间有界，但这并不紧张！

请注意，内部循环为每个O(n/i)进行i=1,2,...n次迭代，因此时间复杂度为O(n * (1 + 1/2 + 1/3 + ... + 1/n)) = O(n log n)。

这是因为1+1/2+1/3+...+1/n=O(log n)，因为它是众所周知的harmonic series。