如果在使用Hop-croft算法最小化确定性有限自动机中接受所有状态怎么办？

Question

这里我们有这样的DFA：

这是否已经是最小化的DFA，还是我们应该使用Hopcroft算法通过将所有接受的状态归为一个类并输出来将其最小化？

Answer 1

Hopcroft最小化算法假定 complete DFA，其中每个状态在字母表中的每个符号上都有一个过渡。

使用不完整的DFA是很常见的，其中允许缺少过渡。从技术上讲，这是NFA（尽管它是完全确定性的）。与DFA不同，NFA允许字母符号生成从给定状态可能过渡的 set ，并且该set可以为空，在这种情况下，NFA会暂停。 （仅当达到输入结束时，DFA才会暂停。）

出于最小化的目的，通常在每个输入符号上添加一个非接受的“接收器”状态，该状态会向其自身过渡。然后，可以将所有“缺失”的过渡替换为过渡到接收器状态的过渡，从而使自动机完成。 （当然，实际上，人们宁愿使用自动机，它在无效输入时立即停止，而不是在接收器状态下无用地旋转直到输入结束。在最小化之后，可以删除接收器状态。）

按照该约定，您的DFA不仅具有接受状态；有一个（隐式）不接受状态。如果DFA实际上仅具有接受状态，则它将识别Σ*，并且确实可以将其最小化为单个接受状态。

Hopcroft的算法在时间O（sN log N）内运行，其中s是字母的大小，N是状态数。由于DFA假定是完整的，因此sn也是自动机图中的边数（每个状态都必须具有s过渡），因此我们可以将其写为O（E log N）。但是，如果我们放宽了DFA完整的要求，则其图形的边缘可能会大大减少，尽管只是一个恒定的因素（如果我们将字母大小保持不变）。已经有一些算法的建议试图利用这一事实。例如，参见Marie-Pierre Béal, Maxime Crochemore. Minimizing incomplete automata. Finite-State Methods and Natural Language Processing (FSMNLP’08), 2008, United States. pp.9-16, 2008, Joint Research Centre.