给出具有 n 个顶点和 m 弧（ n <1500，m <5000 ）和一个弧的有向加权图（u，v）。并回答这个问题，即有多少最短路径（可以在 a 的任意位置开始，并在 b a！= b ）穿过给定的弧。
示例：
n = 4，m = 4
重量为5的弧（1、2）
重量为5的弧（2，3）
重量为5的弧（3，4）
重量为8的弧（1、4）
和圆弧（1、2）。
答案是2，因为最短路径1-> 3和1-> 2中的弧线（1、2）。
Dijkstra可以解决这个问题吗？
答案 0 :(得分：2)
一个快速的想法是，由于它全部与路径重建有关，因此与在每个节点上运行Floyd-Warshall's algorithm相比，您可以使用Dijkstra's algorithm以更便宜的方式找到每对节点之间的最短路径。之后，通过对每个节点进行路径重构，您只需检查提供的弧线是否在找到的路径上即可。
（但是请注意，Floyd-Warshall的算法不支持负周期图）
答案 1 :(得分：0)
首先，使用Dijkstra的算法找出u和v之间的最短路径。有趣的是，如果u和v之间的最短路径不是边缘uv，则任何两个点之间的最短路径都不会包含边缘uv。在这种情况下，您可以将答案提交为0。
现在，我们可以继续在每个节点上使用 Floyd Warshall算法 O(n^3)或使用Fibonacci堆使用 Dijkstra算法 O(m+n*logn)是O(n*m + (n^2)*logn)。我通常会推荐Floyd Warshall，但是由于m的最大值似乎不等于n的最大值的n ^ 2的数量级，因此如果您使用Fibonacci堆，Dijkstra在多个节点上的算法可能变得可行。 （m和n可能足够大以补偿使用大常数时的巨大常数。）
下一步
从每个点“ a”开始，查看到“ u”的最短路径长度+ len（u-> v）+从“ v”到“ b”的最短路径长度是否=从“ a”到“ b”的最短路径长度”。由于我们已经有了最短路径的表，因此每次检查应该花费固定的时间。这将是
n choose 2的顺序，即O(n^2)
对于所有a和b，如果确实如此，则必须找出是否存在多个最短路径。这将是一个痛苦。无论是Dijkstra的算法还是Floyd Warshall的算法，都无法为您找到任意两点之间的所有最短路径。它们仅保证 a 最短的路径。暴力破解的一种方法可能是识别一条最短路径并一次更改一条边，以查看是否出现了一条新的最短路径！
这整个过程仍然应该比构造所有可能的路径更快，检查它是否最短，最后检查它是否穿过所需的边缘。但是，我很想知道我指定算法的后半部分是否可以优化或更改。
编辑：由于该图被称为有向无环图，因此一开始无需应用Bellman ford。如果您想知道在有向图中如何识别负边权重循环，请阅读有关Johnson's Algorithm的信息。