Question

所以我必须确定n ^（1/2）是否为log（n）^ 3的Big Omega。我很确定不是这样，因为n ^（1/2）甚至不在log（n）^ 3的范围内；但我不知道如何无限制地证明这一点。我知道没有限制的定义是

g（n）是f（n）的大欧米茄，如果存在常数c> 0并且整数常数n0 => 1，使得f（n）=> c g（n）为n => n0

但是我真的可以总找到一个常数c来满足这个要求吗？

例如，对于log（n）^ 3 => c * n ^（1/2），如果c = 0.1且n = 10，则得到1 => 0.316。

Answer 1

将sqrt(n)与ln(n)^3进行比较时会发生什么情况

ln(n)^3 <= sqrt(n)                         ; for all n >= N0

我怎么知道？ 因为我打印了足够多的两种表达方式的样本，以说服自己主导了另一种表达方式。

要更正式地看待这一点，我们首先假设我们已经找到N0（稍后再做），然后通过归纳证明如果n >= N0的不等式成立，那么它也会成立为n+1。

请注意，为简单起见，我在基础ln中使用e。

等效地，我们必须证明

ln(n + 1) <= (n + 1)^(1/6)

现在

ln(n + 1) = ln(n + 1) - ln(n) + ln(n)
          = ln(1 + 1/n) + ln(n)
         <= ln(1 + 1/n) + n^(1/6)          ; inductive hypethesis

根据e的定义，我们知道

        e = limit (1 + 1/n)^n

取对数

        1 = limit n*ln(1 + 1/n)

因此，存在N0这样的出口

        n*ln(1 + 1/n) <= 2                 ; for all n >= N0

如此

        ln(1 + 1/n) <= 2/n
                    <= 1

使用以上内容，我们得到

        ln(n + 1) <= 1 + n^(1/6)
                  <= (n+1)^(1/6)

我们想要的。

我们现在剩下的任务是找到一些N0，这样

ln(N0) <= N0^(1/6)

让N0 = e^(6k)取一些我们将要找到的k的值。我们得到

ln(N0) = 6k
N0^(1/6) = e^k

因此，我们只需要选择k，使6k < e^k成为可能，这是因为右侧的增长快于左侧。