Question

我已经给出了以下算法，必须找到递归关系。

int Recursive(int n)
{
   if(n<=1)
     return n;
   sum=0;
   for(int j=0;j<n;j++)
      sum++;
   return Recursive(n/2) + Recursive(n/2) + sum;
}

对于上述算法，我已经获得了递归关系

T(n) = 2 T(n/2) + constant

但是我不确定这个递归关系的常数部分，因为我们在算法中有sum。需要说明的是，sum是一个全局变量-缺少声明不是错字。

有人可以帮助我获得正确的复发关系吗？谢谢。

Answer 1

我不确定该递归关系的恒定部分

由于循环后sum等于n，所以没有常数部分。这给出了：

T(n) = 2T(n/2)+n

因此，如果sum为全局变量T(n) = 2T(n/2)+C(Constant)，并且sum为局部变量T(n) = 2T(n/2)+n。我说得对吗？

不，正如mch写道：

似乎sum是一个全局变量……在这种情况下，将不确定是否首先评估sum或Recursive(n/2)之一。

这意味着T(n) = 2T(n/2)+n或T(n) = 2T(n/2)+n/2是未指定；在任何情况下都不存在恒定的部分。

Answer 2

此答案中的假设：

sum是全局声明的-因为显然缺失的声明不是您输入的错字。
问题要求返回值，而不是时间复杂度。
return语句中的表达式按其出现顺序求值； C标准不能保证这一点，因此答案在技术上是不确定的。

请注意，由于每个调用都会执行以下操作：

返回其自变量（如果为n <= 1）
将sum的值重置为0

...从某种意义上说，函数的返回值将仅取决于其参数，从而保证“关闭”函数。因此，

对Recursive(n / 2)的两个单独的调用可以组合为一个调用，而不会影响返回值：return 2 * Recursive(n / 2) + sum;。

从现在开始，假定已将此修改应用于原始代码；这有助于澄清程序的流程，因为现在只有一个执行路径（而不是由两个调用创建的分支）。

现在是关键部分。对Recursive(n / 2)的调用将在函数返回之前覆盖sum的值{em}，从而撤消前一个for循环所做的工作。这种覆盖行为会在递归层次结构中持续下去，直到终止条件n <= 1被击中（直到返回n为止）。因此，

sum只有一个值会影响最终的返回值，该值由倒数第二个调用Recursive后的值给出

由于被整数除法截断，当执行倒数第二次调用时，n始终为 2 或 3 （两者都是满足n / 2 = 1）；因此，这些也是sum的可能最终值。

n的哪些值分别给sum = 2和sum = 3？考虑n的二进制表示是说明性的。

整数除以2等于将位模式“右”移位1（或根据字节序为“左”），并丢弃最低有效位。因此，sum的最终值仅取决于n的 2 个最高有效位：

initial bit-pattern >> penultimate call ----------------------------------------- ...000 10 xxx... ...0000 10 = 2 ...000 11 xxx... ...0000 11 = 3 xxx: discarded bits

n的位模式具有floor(log2(n)) + 1个有效位； sum的最终值因此可以紧凑地表示为：

S(n) = 2 + second_most_significant_bit(n)

sum被添加到返回值多少次？对Recursive的递归呼叫次数（即呼叫总数减去一个，包括初始呼叫，但不包括最终呼叫）。由floor(log2(n))给出：

请注意，如果最初为1，则最终调用的返回值将始终为n >= 1。因此，Recursive的最终返回值由下式给出：

测试C代码进行确认：

// override the library definition of log2 to use integers only int log2(int n) { int b = 0; while ((n >>= 1) != 0) b++; return b; } // get i-th bit from bit pattern of n int get_bit(int n, int i) { return (n >> (i - 1)) & 1; } // calculating return value of Recursive using equation above int Value(int n) { int l2n = log2(n); // floor(log2(n)) int p2l = 1 << l2n; // 2^(floor(log2(n))) return p2l + (p2l - 1) * (2 + get_bit(n, l2n)); }

结果：

n | Recursive Value ------------------------------- 2 | 4 4 3 | 5 5 4 - 5 | 10 10 6 - 7 | 13 13 8 - 11 | 22 22 12 - 15 | 29 29 16 - 23 | 46 46 24 - 31 | 61 61 32 - 47 | 94 94 48 - 63 | 125 125 64 - 95 | 190 190

算法的递归关系

2 个答案: