具有几何概率分布的顺序搜索的平均案例分析

Question

我有点意识到要平均分配运行时间。假设我们有6个数组元素。

| 1/6  | 1/6   | 1/6  | 1/6   | 1/6  |  1/6   |

上方是一个数组，其中搜索元素的均匀概率分布位于数组的每个下标中。

因此，获得均匀分布的平均运行时间将类似于以下解决方案：

T(n) = (1/6)*1 + (1/6)*2 + (1/6)*3 + (1/6)*4 + (1/6)*5 + (1/6)*6
     = (1/6) * ( 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 )
     =  3.5

或以n个术语表达时：

T(n) = (1/n) * ((n(n+1))/2)
     = (n+1) / 2
     = ϴ(n)

但是在几何概率分布下，顺序搜索中键比较的平均次数是多少？

示例：

Prob(target X is in the jth position) = 1/(2^(j+1))
where j = 0, 1, 2,3,4,5,6,...


| 1/(2^(0+1))  | 1/(2^(1+1))  | 1/(2^(2+1)) | 1/(2^(3+1))  | 1/(2^(4+1))  |  1/(2^(5+1))   |

然后

T(j) = ((1/2)* 1) + ((1/4)* 2) + ((1/8)* 3) + ((1/16)* 4) + ((1/32)* 5) + ((1/64)* 6)
     =  .5 + .25(2) + .125(3) + .0625(4) + .03125(5) + .015625(6)
     =  .5 + .5 + .375 + .25 + .15625 + .09375

     =  1.875

我不知道如何用j来表达它：

 T(j) = ?

什么是上限O（j）？下限Ω（j）？ bound（j）？

任何帮助或想法，将不胜感激。

更新：

我认为获取运行时间的公式如下：

 T(j) = ((sum of geometric series) or (sum of geometric series / n)?)* (n((n+1))/2)

当序列中的每个元素的值为1 /（2 ^（j + 1）），其中j = 0、1、2，...直至。请帮忙。

更新：

我发现求和几何序列的公式为1-（1/2 ^ n）

 T(n) = (1-1/(2^n))/n * (n(n+1)/2)
      = (n+1)/2 - (n+1)/(2^(n+1))

现在，我的问题是什么是大哦，大欧米茄，大Theta，小哦和小欧米茄？ 算法是否可能没有下限？

Answer 1

您的示例如下：

可以使用简单的技巧将其转换为。首先，将基数重写为参数：

竖线表示“以[此值]评估”。回顾x^i的派生形式：

方括号内的术语现在是一个几何级数；回顾标准结果：

请注意，随着j的增加，该值收敛为常数。

Answer 2

最初，我想将其视为一个连续函数，并建议进行演算以计算概率曲线的积分曲线，然后将积分函数乘以x（直到该检查的关键协作数）。然后取最小值和最大值之差...但这不是必需的，因为您不能要求索引之间的索引。

因此，您将使用整数近似。采用概率函数并确定每个索引值的概率。计算这些概率的总和，再乘以发生的关键协作次数。

1 * p（0）+ 2 * p（1）+ 3 * p（2）=您的答案。