Question

我正在计算此代码的时间复杂度，该代码打印从0到n的所有斐波那契数。根据我的计算，fib()方法使用O(2^n)，并且由于它被多次调用i，因此它的结果是O(n*2^n)。但是，这本书说它是O(2^n)。谁能解释为什么这里的时间复杂度为O(2^n)？

代码如下：

void allFib(int n){
    for(int i = 0 ; i < n ; i++){
        System.out.println(i + ": " + fib(i));
    }
}

int fib(int n ){
    if(n <= 0) return 0;
    else if (n == 1) return 1;
    return fib(n-1) + fib(n-2);
}

Answer 1

我终于从教授那里得到了答案，并将其发布在这里：

根据他的说法：您不仅应该简单地查看从0到n迭代的for循环，还必须通过计算步骤来找出实际的计算量。

fib（1）采取2 ^ 1步

fib（2）需2 ^ 2步

fib（3）进行2 ^ 3步

..........

fib（n）需要2 ^ n步

现在添加这些：

2 ^ 1 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 + ........ + 2 ^ n = 2 ^ n + 1

不考虑常量，它是2 ^ n，因此时间复杂度是O（2 ^ n）。

Answer 2

我已经想出了自己的方式来理解这本书的解决方案，希望它能对仍在挣扎中的人们有所帮助。

想象一下，我们现在称为allFib（n）。

由于我们有一个从0到n的for循环，因此将调用以下函数：

i = 0，调用fib（0）
i = 1，呼叫fib（1）
i = 2，致电fib（2）
...
i = n-1，调用fib（n-1）

如前所述，fib（n）将采取O（2 ^ n）= 2 ^ n步因此，

i = 0，调用fib（0）需要2 ^ 0步
i = 1，调用fib（1）进行2 ^ 1步
i = 2，调用fib（2）进行2 ^ 2步
...
i = n-1，调用fib（n-1）需要2 ^（n-1）个步骤

因此，allFib（n）的运行时间将为

2 ^ 0 + 2 ^ 1 + 2 ^ 2 + ... + 2 ^（n-1）。 *

按照sum of powers of 2 formula进行操作，

* = 2 ^（n-1 + 1）-1 = 2 ^ n-1。

因此它是O（2 ^ n）

Answer 3

我认为最好的思考方法是举一个例子。

我们知道fib（）的运行时间大约是O（2 ^ n），从直觉上看，我们认为allFib（）的运行时间为O（n * 2 ^ n），如书中所述。但这不是事实，这就是原因。

为什么O（n * 2 ^ n）是错误的：

如果我们将3代入n，则得到3 * 2 ^ 3，等于2 ^ 3 + 2 ^ 3 + 2 ^ 3。这显然是错误的，因为通过查看代码，我们知道第一个循环运行2 ^ 1，第二个循环运行2 ^ 2，第三个循环运行2 ^ 3次。因此应该是2 ^ 1 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3。

我们如何获得O（2 ^ n）：

如果我们说n = 3，则我们知道合计的功为2 ^ 1 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3，这大约等于2 ^ 4（请参阅《两方的和》中的第630页“以了解原因），因此您可以说完成的工作量为2 ^ n + 1，但是我们删除了大O的所有常量，因此剩下2 ^ n。

所有斐波那契数从0到n的时间复杂度

3 个答案: