Question

对于插入排序，如果存在一组 n 个递减元素，则情况更糟。比较所有元素从左到右的总时间为：

1 + 2 + ... +（n-2）+（n-1）

在计算时间复杂度时还考虑的是交换这些元素，这也是：

1 + 2 + ... +（n-2）+（n-1）

最终，我们得出O（n ^ 2）。

采用另一种算法，例如二进制搜索； 找到中点的动作，然后将其与该中点进行比较，然后在列表的每个分区中将中点重新分配给high或low一半的时间根本不算时间复杂度。仅将中点与目标值进行比较的操作。 那么为什么经典的排序算法（三个赋值语句）中的交换会影响时间复杂性，而二进制搜索中的中点赋值却没有呢？

更新

Taylor Edmiston指出

在二进制排序中，在树结构中查找比在数据结构为数组/列表的插入排序中便宜。插入排序的病理情况是，每个元素都必须交换过去列表中已经存在的所有其他元素。

但是“交换”是否真的只是三个变量分配？

if (a[i] > a[j])
   x = a[i];    
   a[i] = a[j];    
   a[j] = x;

与一般的二进制搜索算法中看到的以下情况相比，这三种分配如何占主导地位？

while(low < high)
   mid = (low + high) / 2;    // assignment 1
   if (data[mid] == target) 
      return true;
   if (data[mid] < testValue)
      low = mid + 1;          // assignment 2_a
   else
      high = mid;             // assignment 2_b

Answer 1

他们做到了！

在插入排序中，您执行O（n²）比较和O（n²）分配，但总数仍为O（n²）。

在二进制搜索中，您执行O（Log n）比较和O（Log n）分配，但总数仍为O（Log n）。

但是，通常的做法是，当您知道某项操作是按另一种操作进行的（例如，在二进制搜索中，每个比较执行一次赋值）时，只计算一种类型的操作。

顺便说一句，请考虑还有其他未考虑的操作，例如数组取消引用或循环语句。只要使用的操作数保持成比例（或较低的数量级），就可以使用big-Oh表示法。

其他示例：

一个人可以通过二分查找和交换来实现插入排序。

在这样的版本中，您将执行大约

Log 1 + Log 2 + Log 3 + Log n-1比较，即O（n Log n），

，仍然是O（n²）交换。在全球范围内，算法行为为O（n²）。

在复杂性分析中，您可以省去对比较进行计数，因为它们以较低的数量级起作用，并且只关心分配。 提供了这种不平衡状态！

Answer 2

没有一种一致的时间复杂度度量方法。

对于排序算法，基本操作被视为比较（仅此而已）。哈希表操作也是如此-它计算完成的比较次数。最好将“ mergesort的时间复杂度为O（n log n）”表示“ mergesort进行O（n log n）比较”。最好将“哈希表查找平均为O（1）”理解为“哈希表查找平均执行O（1）比较”。

这是使事情保持简单的必要条件-例如，如果对字符串数组进行排序，则字符串比较在基本操作中不是O（1）-开销取决于字符串的长度。如果您尝试忽略此问题并说“假设我们的计算机可以在O（1）中执行比较”，则会发现排序算法可以执行少于n log n个基本操作。我有一个(rather technical) blog post about this，其中包括对（甚至更具技术性的）文献的一些引用。

在考虑其他算法时，您可以测量基本运算（例如，赋值，算术运算等）。即使这样，有时您仍可能会认为算术运算的成本是恒定的，或者取决于操作数的大小。

几乎所有偶然性复杂度理论的使用都忽略了“时间”的含义上的差异，人们将很高兴地使用不同的时间概念来组合和比较不同的分析。这在实践中效果很好，并给出了有用的结果，但从理论上讲并不合理。

为什么二分查找算法中的赋值不会增加时间复杂度？

2 个答案: