Question

假设以下问题：我必须使用函数，其中一个函数用t参数化，并且都在自变量z上定义：f（t，z，* ags），g（z，* args）。

我想找到一对值（t0，z0），以便

关于z的函数及其导数是相同的 f（t0，z0，* args）= g（z0，* args）和 df / dz（t0，z0，* args）= dg / dz（z0，* args）。

我知道存在一个解决方案，我有一个合理的起点（tS，zS）。但是，至少有一个函数仅在指定的时间间隔[zL .. zH]（我知道）中定义。

我现在的问题是，这是在python中以数字方式求解方程组的最佳方法。

我试过scipys fsolve，但它似乎失败了，我认为因为它无法处理有限的定义间隔。我尝试了differential_evolution包，只是为了最小化复合函数，但这看起来像是完全矫枉过正。

我有所有函数及其派生词的表达式（尽管它们很复杂）。

当然必须有一个简单的python rootfinder，它能够解决两个非线性方程的系统，这两个方程只在有限的时间间隔内定义？！

由于某些原因，我发现要么能够解决方程组，不考虑极限，要么能够采取限制，但一次只能解决一个方程......

如果有人能指出我正确的方向去看看，那真的很感激！

Answer 1

这个问题需要以下假设：1）存在多个解决方案; 2）至少有一个解决方案处于指定区间的范围内。如果不满足这些假设，您的问题就会变得优化 - 最大限度地减少功能之间的差异。

我生成了以下符合假设的示例：

import numpy as np
from scipy.optimize import fsolve

def f(t,z):
    return t**2 + z + z**2 + np.sin(z)
def g(z):
    return z**2
def dfdz(t,z):
    return 1 + 2*z + np.cos(z)
def dgdz(z):
    return 2*z

def solve(x):
    t,z = x

    #residual array
    r = np.zeros(2)
    #match equations
    r[0] = (f(t,z) - g(z))**2
    #match derivatives
    r[1] = dfdz(t,z) - dgdz(z)

    return r

x0 = [10,-10]
x = fsolve(solve,x0)
t,z = x
print(t,z)

在这些初始条件下，答案是[3.06998012761 -9.42477800292]。通过在范围之外添加残差，可以使用fsolve要求有界变量。这是一个非常糟糕的解决方案，不是很强大。我们可以通过这些修改将z绑定到[-5,0]的范围（其中有另一个正确的答案）：

def solve(x,zL,zH):
    t,z = x

    #penalize deviation from range
    if z < zL:
        e = z - zL
    elif z > zH:
        e = z - zH
    else:
        e = 0

    #residual array
    r = np.zeros(2)
    #match equations
    r[0] = (f(t,z) - g(z))**2 + (e)**2
    #match derivatives
    r[1] = dfdz(t,z) - dgdz(z)

    return r


x0 = [10,-10]
x = fsolve(solve,x0,args=(-5,0))
t,z = x
print(t,z)

新答案是[1.77245385 -3.14159263]。

如前所述，有限变量在优化问题中更常见，因此优化包可以更直观地处理它。在python中，有标准的scipy.optimize.minimize，或者更强大的包，例如Pyomo或GEKKO。以下是GEKKO中的等效问题：

from gekko import GEKKO

#initialize a GEKKO model
m = GEKKO()

#add GEKKO variables
t = m.Var(value = -10)
z = m.Var(value = -10, lb=-5, ub=0)

#define the constraints
m.Equation(t**2 + z + z**2 + m.sin(z) == z**2)
m.Equation(1 + 2*z + m.cos(z) == 2*z)

#solve a system of non-dynamic equations
m.options.IMODE = 1 
m.solve(disp=False)

print(t.value,z.value)

[ - 1.772454] [-3.142608]

使用python

1 个答案: