Question

考虑足球场的给定图像

正如你在图像中看到的各种球运动，其中一些是弯曲的（即在图像中的（1），（2），（3）的情况下））而一些可能不是（即一条线（ 4）），

所以我需要找到球路径与goalline和sideline的交点。有时输入可能不是曲线（即一条线），就像（4）给定图像

的情况一样

我写了一个程序，我不知道出了什么问题 - 这是解决这类程序的正确方法。

如果是，则如何将贝塞尔曲线转换为等式以便更好地求解

将给定视为

beizer curve eqaution -> a(x*x) + b*x + c
and line segment equation -> y = y1 + m(x-x1)

// maxCurvedPoint是曲线的最顶端

var getIntersectionPoint = function (room, ballFromPosition, ballToPosition, maxCurvePoint) 
{
    var linepoints = [[m1,n1], [m2, n2], [m3, n3], [m4, n4]];

    //converting three points(ballFromPosition, maxCurvePoint, ballToPosition) into the quadratic equation (Bezier curve) --(1)
    //getting the equation of the line segment using the linepoints --(2)

    //equating (1) and (2) and getting a quadratic equation and solving and finding intersection points
    return intersectionPoint;
}

// solves //(-b(+-)sqrt(b*b - 4ac)/2ac)
function solve(a, b, c) 
{        
 //check curve intersects line or not
   if((Math.pow(b, 2) - (4 * a * c)) >= 0) 
   {
       result1 = (-1 * b + Math.sqrt(Math.pow(b, 2) - (4 * a * c))) / (2 * a);
       result2 = (-1 * b - Math.sqrt(Math.pow(b, 2) - (4 * a * c))) / (2 * a);
       return [result1, result2];
   } 

   return [];
}

任何人都可以帮我吗？也是最曲线点可以称为曲线的顶点？

Answer 1

我发现使用向量方程更容易，因为代数将是旋转不变的（因此你不必重新编写代码来处理例如＆＃34;水平＆＃34;抛物线）

<强> 1。曲线表示+交叉测试

考虑quadratic Bezier curve端点A, C，控制点B和参数t：

包含来源O，方向D和参数s的无限行：

等同P和R会给出一对二次联立方程，可以重新排列以消除s并找到抛物线参数t：

求解t的这个二次方程，只接受[0, 1]范围内的实根。这可以确保任何交叉点总是在段本身上。

<强> 2。处理细分市场

您还可以通过使用上面的公式从s计算t并限制其值（等于沿着距离）来将交点限制为线段如果O已归一化，则来自D的行。

第3。计算控制点B

请注意，控制点B的一般值不会给出对称抛物线。计算一般对称曲线的B：

定义变量：

M：AB
n：顺时针正常到方向AC
q：签名的凸起距离 - 绝对值是从M到曲线中点的距离
k：从M到B

一个非常简单的结果。

<强> 4。示例C＃（ - style）代码

public static Vector2[] computeIntersection
(
   Vector2 A, Vector2 C, double q,    // parabola segment
   Vector2 O, Vector2 P               // line segment
)
{
   // quadratic solve
   double[] solve(double a, double b, double c)
   {
      double d = b * b - 4.0 * a * c;
      if (d < 0.0) // imaginary roots - no intersection at all
         return null;

      if (d > 0.0) // two distinct real roots
      {
         double sd = Math.Sqrt(d);
         return new double[2] { (-b + sd) / (2.0 * a),
                                (-b - sd) / (2.0 * a) };
      }
      else // only one (line segment is tangent to curve)
      {
         return new double[1] { -b / (2.0 * a) };
      }
   }

   // cross product (in-case undefined)
   double cross(Vector2 i, Vector2 j)
   {
      return i.x * j.y - i.y * j.x;
   }

   // validity check for t and s
   bool valid(double v)
   {
      return (v >= 0.0) && (v <= 1.0);
   }

   // compute control point B
   Vector2 E = C - A;
   Vector2 M = 0.5 * (A + C);
   Vector2 N = (new Vector2(E.y, -E.x)).normalize();
   Vector2 B = M + (2.0 * q) * N;

   // solving for t
   Vector2 D = P - O;
   bool useX = Math.Abs(D.X) > Math.Abs(D.Y);
   double[] T = solve(cross(A + C - 2.0 * B, D),
                      cross(B - A, D) * 2.0,
                      cross(A - O, D));
   if (T == null) return null;

   Vector2[] I = new Vector2[2];
   int c = 0;

   for (int i = 0; i < T.Length; i++)
   {
      // check if t is within curve range
      double t = T[i];
      if (!valid(t)) continue;

      // solve for s and check if is within line range
      double u = (1 - t) * (1 - t);
      double v = 2 * t * (1 - t);
      double w = t * t;
      double s = useX ? ((u * A.X + v * B.X + w * C.X - O.X) / D.X)
                      : ((u * A.Y + v * B.Y + w * C.Y - O.Y) / D.Y);
      if (!valid(s)) continue;

      // compute the corresponding intersection point
      I[c++] = O + s * D;
   }

   // only return valid solutions
   if (c == 0) return null;
   Array.Resize(ref I, c);
   return I;
}

Answer 2

如果您以线段变为(0, 0)-(d, 0)的方式翻译和旋转所有端点，则问题会简化。

让控制点为(Xk, Yk)，k= 0, 1, 2。通过求解t二次方程

获得与轴X的交点

Y0 (1-t)² + 2 Y1 t(1-t) + Y2 t² = 0.

相应的横坐标由

给出

X0 (1-t)² + 2 X1 t(1-t) + X2 t² = 0.

您可以检查这些是否属于[0, d]区间。然后应用反向旋转和平移。

附录：两个二次贝塞尔曲线的交点

可以写出一条pf的矢量方程

P = P0 (1 - t)² + 2 P1 t (1 - t) + P2 t²
  = P0 + 2 (P1 - P0) t + (P0 - 2 P1 + P2) t².

如果您应用坐标的仿射变化，使参考帧变为(P0, P1 - P0, P0 - 2 P1 + P2)，则等式简化为

X = 2t
Y = t²

这是隐式方程

X² = 4Y.

现在通过将相同的变换应用于第二条曲线的控制点并插入上面的参数方程，可以得到t中的四次方程（一边是二次多项式的平方，二次多项式是另一个）。

对于四次方程的根有闭合形式的公式，可以有四个。在[0, 1]中选择真实根后，您评估第一条曲线的t参数，并检查[0, 1]中的成员资格。

不要忘记恢复原始坐标。

用于查找线段和贝塞尔曲线交点的程序

2 个答案: