如何找到两个三次贝塞尔曲线之间的交点

Question

我有两条立方贝塞尔曲线，

曲线1： - 第一个锚点（a1x，a1y），第一个控制点（c1x，c1y），第二个控制点（c2x，c2y），第二个锚点（a2x ，A2Y）

曲线2： - 第一个锚点（a3x，a3y），第一个控制点（c2x，c3y），第二个控制点（c4x，c4y），第二个锚点（a4x） ，a4y）

现在我想找到这两条贝塞尔曲线之间的交点;

怎么做？ 任何带算法的参考文件都会对我有帮助;

Answer 1

找到贝塞尔曲线交点有两种主要方法：

1. 递归细分利用贝塞尔曲线的凸包属性，通常检查其曲线段的边界框的交集。

Code from book Graphics Gems IV with some textual description

1. 两个三次方程组的数值解。它导致9阶的多项式方程，并且可以具有9个实根（两个S形曲线的情况）。请注意，该解决方案在数值上不稳定。

JS code和interactive demonstration 我认为C ++代码可能在Geometric Tools WildMagic库中。

Answer 2

三次贝塞尔曲线只是一个三次多项式方程。如果你想找到两个立方体相交的时候，那么你想找到两个立方体相等的时候，即

a1x3 + b1x2 + c1x + d1 = a2x3 + b2x2 + c2x + d2

然后，这与找到三次方程的根

相同

(a1 - a2)x3 + (b1 - b2)x2 + (c1 - c2)x + (d1 - d2) = 0

像这样的立方方程可以通过分析方法求解，例如， Cardano's method。或者，可以使用诸如Newton–Raphson的方法来迭代到解决方案。但要注意，立方体最多可以有3个点，它们等于零。

Answer 3

我的建议可能不是很有效但可行。您可以尝试比较两条曲线的点之间的距离，最近的两个点将是您的交叉“点”。

Answer 4

如果允许某种近似，则可以将贝塞尔曲线转换为许多小直线，然后计算从两条曲线生成的一对贝塞尔曲线之间的交点。这是一个更容易解决的问题，因为您只需要求解线性方程式，并可以为您的用例提供足够的性能和准确性。