我有一套同余
x = a1 (mod n)
...
x = ak (mod nk)
我希望找到x，这可以通过中国余数定理和相关算法来解决：https://en.wikipedia.org/wiki/Chinese_remainder_theorem
一些例子：https://rosettacode.org/wiki/Chinese_remainder_theorem
对于这个特例：
x = 1031 (mod 1473)
x = 1141 (mod 1234)
x = 50 (mod 1827)
我尝试的所有算法都不起作用，因为模数不是成对互质的。
但是，1024360583是有效的解决方案：
1024360583 % 1473 == 1031
1024360583 % 1234 == 1141
1024360583 % 1827 == 50
什么算法可以找到这样的解决方案？
我还从“密码学手册”中实现了加纳算法：它没有解决这个例子。
答案 0 :(得分：2)
正如你所说，模数不是成对素数。你可以检查每一对（你的三个模数是三对），唯一一个大于1的GCD（最大公约数）是1473和1827，GCD为3 。然后，我们寻找除以一个给定模量之外的所有素数。 （有几种方法可以做到这一点。）我们发现3是唯一一个除以一个模数的素数，并且除以一个模数的素数的最高幂是3**1 = 3（I为了清晰起见，使用Python和Fortran中使用的符号表示，因为插入符号在计算机中也有其他用途。）
这可能会阻止你的方程组得到任何解。我们可以通过在方程中用它们的GCD替换那些模数来检查这一点，看看我们是否会产生矛盾。
x = 1031 = 2 (mod 3)
x = 50 = 2 (mod 3)
结果方程是一致的，因此您的原始系统可能仍然有解决方案。 （如果3的更高幂也划分了多个模数，我们也需要检查那些更高的幂。）对于我们发现的每个素数和每个模数，我们发现该素数的最高幂除以模量。在我们的案例中，我们看到3除1473但3**2除3**2除1827而不是3**3。因此，我们的最高功率是3**2 = 9，我们看到该功率和更低功率的方程是一致的。
我们现在用新的方程替换两个相关的方程，用最后一段中最高幂数除以模数。这意味着将1473替换为1473 / 3 = 491，将1827替换为1827 / 9 = 203。我们还为素数的每个幂加上我们得到的新方程，它除以一个以上的模数。所以现在我们有四个同时模块化方程式：
x = 1031 (mod 491)
x = 1141 (mod 1234)
x = 50 (mod 203)
x = 50 (mod 9) [from your original equation #1, 3]
我们可以减少其中某些方程式的右侧，我们得到
x = 49 (mod 491)
x = 1141 (mod 1234)
x = 50 (mod 203)
x = 5 (mod 9)
该系统的解决方案也适用于您的原始系统。
我确定您可以将其转换为算法，然后将其转换为计算机代码。询问您是否有更多问题。