Question

我试图证明对于二进制堆，buildHeap最多（2N-2）在元素之间进行比较。我发现很难证明这一说法。

Answer 1

构建堆算法从中点开始，并根据需要向下移动项目。让我们考虑一堆127项（7个级别）。在最坏的情况下：

64 nodes (the leaf level) don't move at all
32 nodes move down one level
16 nodes move down two levels
 8 nodes move down three levels
 4 nodes move down four levels
 2 nodes move down five levels
 1 node moves down six levels

所以在最坏的情况下你有

64*0 + 32*1 + 16*2 + 8*3 + 4*4 + 2*5 + 1*6
0 + 32 + 32 + 24 + 16 + 10 + 6 = 120 swaps

因此，在最坏的情况下，构建堆的交换次数少于N次。

因为构建堆要求您将项目与其子项的最小项交换，所以需要进行两次比较来启动交换：一项用于查找两个子项中的最小项，另一项用于确定节点是否更大且必须被交换。

移动节点所需的比较次数为2*(levels_moved+1)，并且移动的节点数不会超过N / 2个。

一般情况

我们需要证明最大比较次数不超过2N-2。如上所述，将节点移动一级需要两次比较。因此，如果移动的级别数小于N（即（N-1）或更少），则最大比较次数不能超过2N-2。

我在下面的讨论中使用了完整的堆，因为它代表了最糟糕的情况。

在N个项目的完整堆中，叶级别有（N + 1）/ 2个节点。（N + 1）/ 4在下一级别上升。（N + 1）/ 8，等等。你最终得到这个：

(N+1)/2 nodes move 0 levels
(N+1)/4 nodes move 1 level
(N+1)/8 nodes move 2 levels
(N+1)/16 nodes move 3 levels
(N+1)/32 nodes move 4 levels
...

这给了我们系列：

((N+1)/2)*0 + ((N+1)/4)*1 + ((N+1)/8)*2 + ((N+1)/16)*3 ...

让我们看看它对大小不同的大小有什么影响：

heap size  levels   levels moved
   1         1          0
   3         2          1
   7         3          2*1 + 1*2 = 4
   15        4          4*1 + 2*2 + 1*3 = 11
   31        5          8*1 + 4*2 + 2*3 + 1*4 = 26
   63        6          16*1 + 8*2 + 4*3 + 2*4 + 1*5 = 57
   127       7          32*1 + 16*2 + 8*3 + 4*4 + 2*5 + 1*6 = 120
         ....

我运行了最多20个级别（大小一百万并且更改），并且它仍然成立：N个项目的完整堆移动的最大级别数是N-log2（N + 1）。

将上述系列视为Arithetico-geometric Sequence，我们计算log2(N + 1) - 1项的总和，忽略第一项为零，等于N - 1。（回想一下完整的二叉树有log2(N + 1)级别）

此总和表示执行筛选操作的总次数。因此所需的比较总数为2N - 2（因为每次筛选操作需要两次比较）。这也是上限，因为完整的二叉树总是代表给定树深度的最坏情况。

证明二进制堆构建最大比较是（2N-2）

1 个答案:

一般情况