是2 ^（2n）= O（2 ^ n）

Question

Is 2(n+1) = O(2n)?

我认为这是正确的，因为n+1 ~= n。

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Is 2(2n) = O(2n)?

这个似乎会使用相同的逻辑，但我不确定。

Answer 1

第一种情况显然是正确的 - 你只需要取消常数

当前对问题第二部分的回答，看起来像是对我的一种嘲讽，所以我会尝试给出正确的数学解释。让我们假设第二部分是真的，那么从big-O的定义来看，你有：

这显然是错误的，因为没有这样的常数可以满足这种不平等。

Answer 2

请注意

2n+1 = 2(2n)

和

22n = (2n)2

从那里，使用您知道的Big-O表示法规则，或者使用定义。

Answer 3

我假设你刚刚离开左侧的O（）表示法。

O（2 ^（n + 1））与O（2 * 2 ^ n）相同，并且总是可以拉出常数因子，因此它与O（2 ^ n）相同。

然而，恒定因素是你唯一可以拿出的东西。 2 ^（2n）可以表示为（2 ^ n）（2 ^ n），并且2 ^ n不是常数。所以，你的问题的答案是肯定的，不是。

Answer 4

声明：2 ^（2n）！= O（2 ^ n）

矛盾证明：

1. 假设：2 ^（2n）= O（2 ^ n）
2. 这意味着存在c> 0和n_0 s.t.对于所有n> = n_0
，2 ^（2n）＆lt; = c * 2 ^ n
3. 将两边除以2 ^ n，得到：2 ^ n＆lt; = c * 1
4. 矛盾！ 2 ^ n不受常数c的限制。

因此2 ^（2n）！= O（2 ^ n）

Answer 5

要回答这些问题，您必须注意big-O表示法的定义。所以你必须问：

是否有任何常数C使得2^(n+1) <= C(2^n)（假设n足够大）？

另一个例子也是如此：是否有任何常数C使得所有n的2^(2n) <= C(2^n)足够大？

处理这些不平等现象，您将会找到解决方案。

Answer 6

2 ^{n + 1} = O（2 ⁿ ），因为2 ^{n + 1} = 2 ¹ * 2 ⁿ = O（2 ⁿ ）。 假设2 ²ⁿ = O（2 ⁿ ）然后存在一个常数c，使得对于n超过某个n ₀ 的情况，2 ²ⁿ <= c 2 ⁿ 。将双方除以2 ⁿ ，我们得到2 ⁿ 0 的值可以使它成立，因此假设为假，并且2 ²ⁿ ！= O（2 ⁿ ）

Answer 7

我们将使用=> a^(m*n) = (a^m)^n = (a^n)^m 现在，

2 ^（2 * n）=（2 ^ n）^ 2 =（2 ^ 2）^ n

所以

（2 ^ 2）^ n =（4）^ n

因此

O（4 ^ n）

很明显，

（2 ^ n）<（4 ^ n）的增长率