Question

如何在数组中找到连音符/对i，j，k的数目，使得a [i] + a [j] = 2 * a [k]。由于n <= 10 ^ 5，复杂度应为O（n * logn）或O（n）。

编辑2（重要）：abs（a [i]）＆lt; = 10 ^ 3。

编辑： i，j，k必须都是不同的。

这是我的代码，但它太慢了，它的复杂性为O（n ^ 2 logn）。

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int binarna(vector<int> a, int k){
    int n = a.size();
    int low = 0, high = n - 1; 
    bool b = false;

    int mid;
    while(low <= high){
        mid = (low + high) / 2;

        if (a[mid] == k){
            b = true;
            break;
        }

        if (k < a[mid])
            high = mid - 1;
        else
            low = mid + 1;
    }

    if (b)
        return mid;
    else
        return -1;
}


int main()
{
    int n;
    cin >> n;

    vector<int> a(n);
    for (auto& i : a)
        cin >> i;

    sort(a.begin(), a.end());

    int sol = 0;
    for (int i = 0; i < n - 1; ++i){
        for (int j = i + 1; j < n; ++j){
            if ((a[i] + a[j]) % 2)
                continue;
            int k = (a[i] + a[j]) / 2;

            if (binarna(a, k) != -1)
                ++sol;
        }
    }

    cout << sol << '\n';
}

Answer 1

复杂性可能比O(N²)更好，因为在元素形成单个算术级数的情况下，所有(i, j)对j-i甚至都有一个合适的元素中间和计数是O(N²) *。

O(N²)解决方案如下：

逐渐对数组进行排序;

i

，
- 设置k=i和每j>i，
  - 将k增加到2 A[k] >= A[i] + A[j]
  - 如果达到相等则增加计数

对于给定的i，j和k会单调增加到N，因此总操作数为O(N-i)。这证明了全局行为O(N²)，这是最佳的。

*这里有一点微妙之处，因为你可能会声称与论证相矛盾：＆＃34;我们可以确定数组在时间O(N)中形成一个算术序列，并从此计算出一个单一的计数去＆＃34;

但是如果不是单个算术序列，我们有两个长度为N/2的算术序列，即使它们交织在一起，计数的二次行为仍然存在。并且至少有N种方法可以交织两个算术序列。

如果元素的范围远小于它们的数量，则通过直方图压缩数据是有利的。

三重检测算法简化了一点，因为k系统地(i+j)/2。现在，每个三元组都计入Hi.Hk.Hj而不是1。复杂度为O(M²)，其中M是直方图的大小。

Answer 2

让我们调用D - 数组中不同值的总数。如果abs(a[i]) <= 10^3，则数组中的值不能超过2*10^3个不同的值。这意味着如果你有点聪明，你的算法的复杂性变得最小O(D^2*log(D))和O(N*log(N))，这远远好于O(N^2*log(N))，如果你使用Yves建议的智能算法，你会得到至少O(D^2*log(D))和O(N*log(N))。

显然O(N*log(N))来自排序，你无法避免，但即使N = 10^5也没关系。那么如何在算法的主要部分中将N减少到D？这并不难。您需要的是将int数组替换为元组数组(value, count)（我们称之为B）。通过在对原始数组进行排序后扫描来获得这样的数组很容易。此新数组的大小为D（而不是N）。现在您将算法或Yves改进算法应用于此数组，但每次找到三元组(i,j,k)时

2*B[k].value == B[i].value + B[j].value

您将总计数器增加

totalCount += B[k].count * B[i].count * B[j].count

为什么会这样？考虑原始排序的数组。当你发现三元组(i,j,k)时

2*A[k].value == A[i].value + A[j].value

您实际上找到了i，j和k的3个范围，这样每个范围中的值都相等，因此您可以从相应的范围中选择任意数字。简单的组合学建议上面的公式。

找出数组中的三元组数（i，j，k），使得A [i] + A [j] = 2 * A [k]

2 个答案: