如问题所述，需要在数组中找到（i，j）对的总数，以便
(1) **i<j**
(2) **a[i]>a[j]**
其中i和j是数组的索引。没有空间限制。
我的问题是
1) Is there any approach which takes less than O(N^2) time?
2) if so what is least complexity ?
3) How do we prove that ?
我希望我能清楚这个问题。
我的方法如下
提出问题的一种方法是使用暴力前导，花费时间为O（N ^ 2）。
但我认为至少O（NlogN）溶解应该有一个更好的优化解决方案。我直觉的原因如下
直觉
1) For sorting an array in ascending order conditions we have are : for i<j , a[i]<a[j] which is similar to my question . I also read that sorting has lower bound of Omega(n log n) . So my question should also have Omega(n log n) . I may be completely wrong if so please correct me .
我的第二个直觉是：
假设我们有一个如下数组的元素：4,9,7,3,2,1,8,12
我们为元素4计算上面的条件i<j , a[i]>a[j]，因为i = 0指向4，j的可能值是3,4,5。因为a [0]> a [3]，a [ 0]＆gt; a [4]，a [0]＆gt; a [5]，所以我现在的（i，j）对的总数是3。
下次当我将i（索引）增加到1时，j的可能值为2,3,4,5,6。但是我们应该使用这样的事实：当i = 0时（当a [i] = 4时）我们计算出3个小于a [i = 0]的元素，而这个元素又小于a [i = 1]，所以我不会比较9和3,2,1（去除不必要的计算）。如果我们可以删除不必要的计算，那么我们可以将复杂度降低到小于O（N ^ 2）的值，否则不存在小于O（N ^ 2）的解。但如果存在解决方案，那么我们如何做到这一点。我尝试制作图表，但我的努力是徒劳的。
方法1）In-order to obtain O(nlogn) complexity I think we need to tweak around quick sort or merge sort to get solution but problem here is, if we sort the array we loose the actual positions of elements.
方法2)In-order to get solution in O(NlogN) time I think using tree we may get the optimised sollution . I didn't get any clue.
方法3）If there exists any O(N) time algorithm it should be with hashing . But in this case simple hashing doest work .
所以，请让我知道上述哪些直觉或方法是正确的（如果正确哪种方法将导致优化的溶出以及如何）。
答案 0 :(得分：10)
您可以使用算法计算倒置对，类似于合并排序，如here所述。
我们的想法是在计算时对数组进行合并排序，每一步都改变了多少次反转。
另一种方法是使用订单统计树。您按顺序将数组的元素插入到此树中，并在每次插入后看到插入元素之前的元素数量大于它。
订单统计树的替代方法是Indexable skiplist。
两种算法都具有O（N log N）时间复杂度。
要获得近似的反演次数，O（N）时间复杂度可能会有一些限制。我们可以像修改合并排序一样修改Bucket sort。
在Bucket排序的“scatter”阶段，我们应该估计更大元素的桶中元素的数量，同时在某个桶的末尾插入元素（每个桶中的元素保持原始顺序）。
在Bucket排序的“排序”阶段，我们应该修改（以相同的方式）排序算法（插入排序，最有可能）。在将元素插入适当的位置时，我们应该计算它跳过的其他元素数量。
至于限制，此算法仅适用于数字（或使用对象，可轻松转换为数字），我们应事先知道这些数字是如何分布的。因此，如果我们有一个均匀分布的整数数组，这个算法应该可以正常工作。
答案 1 :(得分：4)
这样的对被称为数组中的反转次数。它是衡量数组排序距离的一种衡量标准。您可以修改合并排序以有效计算O（nlogn）时间内的反转次数。有关详细信息，请参阅this。