Question

无论如何计算Theta（log n）中1到n的总和？

当然，显而易见的方法是sum = n *（n + 1）/ 2。

但是，练习时，我想用Theta（log n）计算。

例如，

sum=0; for(int i=1; i<=n; i++) { sum += i}

此代码将在Theta（n）中计算。

Answer 1

公平的方式（不使用数学公式）假设直接求和所有n个值，因此无法避免O（n）行为。

如果你想制作一些人工方法来提供准确的O（log（N））时间，可以考虑使用2的幂（知道Sum(1..2^k = 2^(k-1) + 2^(2*k-1) - 例如，Sum(8) = 4 + 32）。伪代码：

function Sum(n)
   if n < 2 
       return n
   p = 1     //2^(k-1)
   p2 = 2    //2^(2*k-1)
   while p * 4 < n:
      p = p * 2;
      p2 = p2 * 4;
   return p + p2 +                    ///sum of 1..2^k
         2 * p * (n - 2 * p) +        ///(n - 2 * p) summands over 2^k include 2^k
         Sum(n - 2 * p)               ///sum of the rest over 2^k

此处2*p = 2^k是两个不超过N的最大幂。例如：

Sum(7) = Sum(4) + 5 + 6 + 7 = 
         Sum(4) + (4 + 1) + (4 + 2) + (4 + 3) = 
         Sum(4) + 3 * 4 + Sum(3) = 
         Sum(4) + 3 * 4 + Sum(2) + 1 * 2 + Sum(1) = 
         Sum(4) + 3 * 4 + Sum(2) + 1 * 2 + Sum(1) = 
         2 + 8  +   12   + 1 + 2 +   2 +     1 = 28

theta（log n）中从1到n的总和

1 个答案: