Question

我正在解决CLRS中我们需要证明的问题（ceil（lg lg n））！是多项式有界的。

Let g(n)=(ceil(lg lg n))!

lg(g(n))=lg((ceil(lg lg n))!)
        =theta(ceil(lg lg n) * lg (ceil(lg lg n))) [since lg(n!)=theta(n * lg n)
                                                    and replacing n by ceil(lg lg n) here.]
        =theta((lg lg n) * (lg lg lg n))  ----(1)  [since ceil(n)=theta(n)
                                                    and replacing n by (lg lg n) here.]

现在，如果我能证明theta（lg n）= o（n）

=>theta(lg lg lg n)=o(lg lg n)
=>theta((lg lg n) * (lg lg lg n))=o((lg lg n) * (lg lg n))
                                 =o((lg lg n)^2)
                                 =o(lg^2(lg n))
                                 =o(lg n)  ----(2) [Polylogarithmic functions grow slower than 
                                                    polynomial functions.
                                                    =>log^b(n)=o(n^a)
                                                    =>log^2(log n)=o(logn^1)
                                                    =>log^2(log n)=o(log n)]

From (1) and (2) we have log(g(n))=o(log n)
=>g(n)=o(n^a) that is g(n) is polynomially bounded.

我面临的唯一问题是证明 theta（lg n）= o（n）。请帮忙！

Answer 1

要证明(ceil(lg lg n))!是多项式限制的，您还可以使用Stirling's approximation 斯特林说，n!主要是n^n。以下是：

ceil(lg lg n)! < (1 + lg lg n)! 
               < (1 + lg lg n)^(1 + lg lg n) 
               = (1 + lg lg n) * (1 + lg lg n)^(lg lg n)
               < (1 + lg lg n) * (2 * lg lg n)^(lg lg n)
               < (1 + lg lg n) * (lg n) * (lg lg n)^(lg lg n)

现在只剩下显示(lg lg n) ^ (lg lg n)是多项式有界：

             (lg lg n)^(lg lg n) < n
<=>   lg ( (lg lg n)^(lg lg n) ) < lg n
 =>   lg ( (lg lg n)^(lg lg n) ) = (lg lg n) * (lg lg lg n) 
                                 < sqrt(lg n) * sqrt(lg n)
                                 = lg n

总而言之，你得到了

ceil(lg lg n)! < (1 + lg lg n) * (lg n) * n

不使用Landau-notation。

关于你的问题（证明theta(lg n)=o(n)）： f中的o(g)表示lim f(n)/g(n) -> 0的{{1}} - ＆gt;无穷。由于n，lim (lg n)/n -> 0位于lg n。 o(n)表示e in Theta(f) 因此，0 < liminf e(n)/f(n) <= limsup e(n)/f(n) < infinity中的e上限为Theta(f)，常数为c* f(n)。

因此c中的e被Theta(lg n)限制，由于c * lg n，lim c lg n / n -> 0也位于e。

我如何证明theta（log n）= o（log n）？

1 个答案: