我有一个令我困惑的家庭作业问题。它要求您证明函数Sum [log（i）* i ^ 3，{i，n}）（即从i = 1到n的log（i）* i ^ 3之和）是big-theta （对数（N）* N ^ 4）。
我知道Sum [i ^ 3，{i，n}]是（（n（n + 1））/ 2）^ 2并且Sum [log（i），{i，n}）是log （n！），但我不确定是否1）我可以单独处理这两个，因为它们是总和中相同产品的一部分，以及2）如何开始将其变成一种形式，这将有助于我证明。
任何帮助都会非常感激。谢谢！
答案 0 :(得分：2)
提示解决方案的一部分：左边总和的最后两个加数的总和有多大？
第二部分提示：如果你将左侧（总和）除以右侧，你得到多少个加数？最大的一个有多大？
再次提示第一部分：找到第一个表达式中从n / 2到n的总和的简单估计值。
答案 1 :(得分：2)
该系列看起来像这样 - 记录1 + log 2 * 2 ^ 3 + log 3 * 3 ^ 3 ....（最多n个术语） 其总和不会收敛。所以，如果我们整合它
积分到（1到无穷大）[logn * n ^ 3]（按部分积分）
你将获得1/4 * logn * n ^ 4 - 1/16 *（n ^ 4）
很明显，主导词有logn * n ^ 4，因此它属于Big Theta（log n * n ^ 4）
你能看到它的另一种方式是 -
该系列看起来像log 1 + log2 * 8 + log 3 * 27 ...... + log n * n ^ 3。 您可以将log n视为具有最高值的术语，因为所有对数函数都以相同的速率渐近地增长，
您可以将上述系列视为log n（1 + 2 ^ 3 + 3 ^ 3 ...）
log n [n ^ 2（n + 1）^ 2] / 4
假设f（n）= log n * n ^ 4 g（n）= log n [n ^ 2（n + 1）^ 2] / 4
你可以证明f（n）/ g（n）的lim（n趋于inf）将是一个常数[应用L'Hopital的规则]
这是另一种证明函数g（n）属于Big Theta（f（n））的方法。
希望有所帮助。
答案 2 :(得分：0)
尝试BigO限制定义并使用微积分。
对于微积分，您可能想使用一些计算机代数系统。
在下面的回答中，我已经展示了如何使用Maxima Opensource CAS执行此操作： Asymptotic Complexity of Logarithms and Powers