根据Big theta分析时间复杂度

Question

我一直试图设置关于迭代和i然后j的清晰信息，但是当我试图弄清楚while循环时我会陷入困境？ 有人可以给我一些关于如何解决这样的问题的信息吗？

Answer 1

免责声明：这个答案冗长且过于冗长，因为我想为OP提供“婴儿步骤”方法，而不是结果。我希望她能从中找到一些帮助 - 是否需要它。

如果您在尝试一次性获得复杂性时遇到困难，可以尝试将问题分解为更容易推理的小块。 在这种情况下，引入符号可以帮助构建您的思维过程。

1. 让我们为内部while循环引入一个表示法。我们可以看到起始索引j取决于n - i，因此此循环执行的操作数将是n和i的函数。让我们用G(i, n)表示这个操作数。

2. 外部循环仅取决于n。我们用T(n)表示操作次数。

3. 现在，让我们记下T(n)和G(n, i)之间的依赖关系，仅推断外部循环 - 我们不关心此步骤的内部while循环，因为我们已经在函数G中抽象了它的复杂性。所以我们选择：

   T(n) = G(n, n - 1) + G(n, n - 2) + G(n, n - 3) + ... + G(n, 0) = sum(k = 0, k < n, G(n, k))

4. 现在，让我们关注函数G。

   • 让我们引入一个额外的表示法，并在j(t)循环执行的j次迭代中写下t索引while的值。
   • 让我们调用k违反了while循环不变量的t的值，即最后一次评估条件。
   • 让我们考虑任意i。如果有帮助，您可以尝试使用i的几个特定值（例如1,2，n）。

我们可以写：

    j(0) = n - i
    j(1) = n - i - 3
    j(2) = n - i - 6
     ...
j(k - 1) = n - i - 3(k - 1)   such that j(k-1) >= 0 
    j(k) = n - i - 3k         such that   j(k) < 0

查找k涉及解决不等式n - 1 - 3k < 0。为了更容易，让我们“忽略”k是一个整数的事实，我们需要取下面结果的整数部分。

n - i - 3k < 0 <=> k = (n - i) / 3

因此需要考虑(n - i) / 3个“步骤”。通过步骤，我们在这里指的是循环条件的评估次数。执行操作j <- j - 3的次数将是后者减去一次。

所以我们找到了G(n, i)的表达式：

G(n, i) = (n - i) / 3

现在让我们回到我们在（3）中找到的T(n)的表达式：

T(n) = sum(k = 0, k < n, (n - k) / 3)

由于k从0变为n时，n - k从n变为0，我们可以将T(n)等效地写为：

T(n) = sum(k = 0, k <= n, k / 3)
     = (1/3).sum(k = 0, j <= n, k)
     = (1/6).n.(n+1)

因此你可以用

结束

T(n) = Theta(n^2)

此分辨率展示了一些模式，您可以从中创建自己的配方来解决类似的练习：

• 考虑各个级别的操作次数（一次一个循环），并为代表它们的函数引入符号;
• 查找这些功能之间的关系;
• 找出最内部函数的代数表达式，它不依赖于您引入的其他函数，并且可以从循环不变量计算步数;
• 使用这些函数之间的关系，找到堆栈中较高函数的表达式。

Answer 2

为了计算代码的所有时间复杂度，用求和替换每个循环。此外，请考虑自(n - i)/3以来第二个循环运行j，步长为3。所以我们有：