Question

您将获得一个整数 n 和一个理性 p / q （ p 和 q 是整数）

如何比较 sqrt（n）和 p / q ？

解决方案1 ：sqrt(n) <= (double) p / q
应该工作，但调用sqrt比使用乘法/除法慢。{/ p>

解决方案2： (double) n * q * q <= p * p
更好，但我无法思考，因为我们使用浮动，如果 p / q 非常接近 sqrt（n），我们可能得到错误的答案。此外，它需要将整数转换为浮点数，这比使用整数更慢（略微）。

解决方案3 ：n*q*q <= p*p
更好的是，如果由于溢出而导致 p 和 q 变大，则会遇到麻烦（通常，如果 p 或 q ＆gt; = 2 ^ 32。

解决方案4 ：使用带有bignum库的解决方案3 /使用具有未绑定整数的编程语言。

解决方案5： (q / p) * n <= p / q
成功避免任何溢出问题，但我不确定这在所有情况下都是正确的，因为整数除法......

所以...我很乐意选择解决方案2或4，但我想知道是否有人有巧妙的技巧来解决这个问题，或者可能是解决方案5工作（或不工作）的证明（或反例）。

Answer 1

正如我所评论的，一个简单而优雅的解决方案是使用bignum，特别是如果内置，或者使用所选语言轻松提供。它对n，p，q没有限制。

我将在此处开发一种基于IEEE浮点的替代解决方案：

n，p，q完全可以用给定的浮点精度表示（例如，对于单个或双个IEEE 754，在24或53位内）
可以使用融合乘法。

我会注意到f浮点类型，f(x)将值x转换为f，可能会舍入到最近的浮点数，与偶数相关联。

fsqrt(x)将表示精确平方根的浮点近似。

让f x = fsqrt(f(n))和f y = f(p) / f(q)。

根据IEEE 754属性，x和y都是最接近精确结果的浮点数，而n=f(n)，p=f(p)，q=f(q)来自我们的初步条件。

因此，如果x < y问题得到解决sqrt(n) < p/q。

如果x > y问题也解决了sqrt(n) > p/q。

如果x == y我们无法立即告知......

让我们注意残留f r = fma(x,x,-n)和f s = fma(y,q,-p)。

我们完全有r = x*x - n和s = y*q - p。因此s/q = y - p/q（确切的操作，而不是浮点操作）。

现在我们可以比较剩余误差。 (p/q)^2 = y^2-2*y*s/q+ (s/q)^2。它与n = x^2 - r相比如何？

n-(p/q)^2 = 2*y*s/q - r - (s/q)^2。

因此，我们得到了差异d的近似值，在第一顺序：f d = 2*y*s/f(q) - r。所以这是一个类似C的原型：

int sqrt_compare(i n,i p,i q)
/* answer -1 if sqrt(n)<p/q, 0 if sqrt(n)==p/q, +1 if sqrt(n)>p/q */
/* n,p,q are presumed representable in f exactly */
{
  f x=sqrt((f) n);
  f y=(f) p / (f) q;
  if(x<y) return -1;
  if(x>y) return +1;
  f r=fma(x,x,-(f) n);
  f s=fma(y,(f) q,-(f) p);
  f d=y*s/(f) q - r;
  if(d<0) return -1;
  if(d>0) return +1;
  if(r==0 && s==0) return 0; /* both exact and equal */
  return -1; /* due to 2nd order */
}

正如你所看到的，它相对较短，应该是高效的，但很难破译，所以至少从这个POV来看，我不会认为这个解决方案比琐碎的bignum更好。

Answer 2

您可以考虑使用大小为2x的整数解决方案3，

n * uint2n_t{q} * q <= uint2n_t{p} * p

如果n * q * q溢出，则会溢出，但在这种情况下，无论如何都会返回false。

uint2n_t nqq;
bool overflow = __builtin_mul_overflow(uint2n_t{n} * q, q, &nqq);
(!overflow) && (uint2n_t{n} * q * q <= uint2n_t{p} * p);

将sqrt（n）与理性p / q进行比较

2 个答案: