是什么让这些嵌套循环O（n ^ 3）？

Question

所以我一直在看这些嵌套的for循环：

for i = 1 to n:
    for j = i to n:
        for k = i to n:
            sum = i + j + k

现在我可以看到这是O（n ^ 3），因为它是三个线性增长，嵌套循环依赖于n，但我不知道我将如何以数学方式显示它。

Answer 1

最简单的方法是计算确切的运行时间（即迭代次数），然后自然而然地发现Big-Oh复杂性。让我们尝试计算前几个值：

i = 1 - ＆gt; j从1转到n，k从1转到n - ＆gt; n*n次迭代

i = 2 - ＆gt; j从2转到n，k从2转到n - ＆gt; (n-1)*(n-1)次迭代

i = 3 - ＆gt; j从3转到n，k从3转到n - ＆gt; (n-2)*(n-2)次迭代

...

i = m - ＆gt; j从m转到n，k从m转到n - ＆gt; (n-m+1)*(n-m+1)次迭代

要获得总迭代次数，我们显然必须得到(n-i+1)*(n-i+1)的总和，其中i从1变为n。计算并不难：

这里我们使用公式来表示首先n自然数和第一个n正方形的总和。现在很明显n^3占主导地位，因此时间复杂度为O(n^3)。